Номер 282, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 282, страница 104.

282 Каково взаимное положение в координатной плоскости графиков уравнений системы? Имеет ли система решения и если имеет, то сколько?

а) $\begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0,5x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x = 3 - 2y, \\ 2x = 6 - 4y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2y - x = 5, \\ 4y + 2x = 10. \end{cases}$

а) Для определения взаимного положения графиков уравнений системы и количества решений, приведем каждое уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.
Система уравнений: $ \begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение: $y - 3x = 0 \implies y = 3x$.
Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 3$.
Преобразуем второе уравнение: $3y - x = 6 \implies 3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$.
Угловой коэффициент этого графика $k_2 = \frac{1}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$, так как $3 \neq \frac{1}{3}$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: Графики уравнений пересекаются. Система имеет одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases} $
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$x + 2y = 3 \implies 2y = -x + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2} = -0.5$, а свободный член $b_1 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Второе уравнение уже представлено в нужном виде: $y = -0.5x$.
Угловой коэффициент $k_2 = -0.5$, а свободный член $b_2 = 0$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Графики уравнений параллельны. Система не имеет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 3 - 2y \\ 2x = 6 - 4y \end{cases} $
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $x = 3 - 2y \implies 2y = 3 - x \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = \frac{3}{2}$.
Второе уравнение: $2x = 6 - 4y \implies 4y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{4} \implies y = -\frac{2}{4}x + \frac{6}{4} \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = \frac{3}{2}$.
Поскольку и угловые коэффициенты, и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), графики уравнений являются одной и той же прямой (совпадают). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: Графики уравнений совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2y - x = 5 \\ 4y + 2x = 10 \end{cases} $
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y - x = 5 \implies 2y = x + 5 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $4y + 2x = 10 \implies 4y = -2x + 10 \implies y = -\frac{2}{4}x + \frac{10}{4} \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$, так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: Графики уравнений пересекаются. Система имеет одно решение.