Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

268 Андрей проехал на велосипеде 24 км. На автомобиле за это же время при скорости, на 30 км/ч большей, он проехал бы 84 км. С какой скоростью ехал Андрей на велосипеде? За какое время он проехал это расстояние?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v$ — это скорость Андрея на велосипеде в км/ч, а $t$ — время в пути в часах.

Расстояние, которое Андрей проехал на велосипеде, равно произведению его скорости на время:
$S_{вело} = v \cdot t = 24$ км.

По условию, скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости велосипеда, значит, она равна $v + 30$ км/ч. Время в пути для автомобиля такое же, то есть $t$ часов. За это время автомобиль проехал 84 км:
$S_{авто} = (v + 30) \cdot t = 84$ км.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $v \cdot t = 24$
2) $(v + 30) \cdot t = 84$

Из первого уравнения выразим время $t$ через скорость $v$:
$t = \frac{24}{v}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$(v + 30) \cdot \frac{24}{v} = 84$

Решив это уравнение, мы найдем искомую скорость велосипеда.

С какой скоростью ехал Андрей на велосипеде?

Решим полученное уравнение относительно $v$:
$(v + 30) \cdot \frac{24}{v} = 84$
Разделим обе части уравнения на 24 для упрощения:
$\frac{v + 30}{v} = \frac{84}{24}$
Сократим дробь в правой части: $\frac{84}{24} = \frac{7 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Получаем: $\frac{v + 30}{v} = 3.5$
Умножим обе части уравнения на $v$ (поскольку скорость не может быть равна нулю):
$v + 30 = 3.5v$
Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону:
$30 = 3.5v - v$
$30 = 2.5v$
Теперь найдем $v$:
$v = \frac{30}{2.5} = \frac{300}{25} = 12$
Таким образом, скорость Андрея на велосипеде составляла 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.

За какое время он проехал это расстояние?

Теперь, когда мы знаем скорость велосипеда ($v = 12$ км/ч), мы можем найти время в пути, используя формулу, выведенную из первого уравнения: $t = \frac{24}{v}$.
Подставляем значение скорости:
$t = \frac{24}{12} = 2$
Значит, Андрей проехал это расстояние за 2 часа.
Для проверки можно вычислить время для поездки на автомобиле:
Скорость автомобиля: $12 + 30 = 42$ км/ч.
Время: $t = \frac{84}{42} = 2$ часа.
Время совпадает, значит, задача решена верно.
Ответ: 2 часа.

269 Для класса купили несколько пачек тетрадей и столько же пачек блокнотов. Тетрадей в пачке на 6 больше, чем блокнотов. Всего купили 120 тетрадей и 90 блокнотов. Сколько тетрадей в пачке? Сколько пачек тетрадей купили?

Для решения задачи проанализируем исходные данные. Нам известно, что:

1. Купили одинаковое количество пачек тетрадей и блокнотов.
2. Всего купили 120 тетрадей и 90 блокнотов.
3. В каждой пачке тетрадей на 6 штук больше, чем в пачке блокнотов.

Сначала найдем, на сколько всего тетрадей купили больше, чем блокнотов. Это поможет нам определить количество пачек.

$120 - 90 = 30$ (штук)

Эта общая разница в 30 штук складывается из разницы в каждой пачке. Поскольку в каждой пачке тетрадей на 6 больше, мы можем найти количество пачек, разделив общую разницу на разницу в одной пачке:

$30 \div 6 = 5$ (пачек)

Итак, мы установили, что было куплено 5 пачек. Теперь можно ответить на вопросы задачи.

Сколько тетрадей в пачке?

Чтобы найти количество тетрадей в одной пачке, нужно общее количество тетрадей (120) разделить на количество купленных пачек (5):

$120 \div 5 = 24$ (тетради)

Ответ: 24 тетради.

Сколько пачек тетрадей купили?

Как было найдено ранее, количество пачек определяется отношением общей разницы в количестве тетрадей и блокнотов к разнице в их количестве в одной пачке:

$(120 - 90) \div 6 = 30 \div 6 = 5$ (пачек)

Ответ: 5 пачек.

270 Премиальный фонд в 72 000 р. распределили в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек уволились, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально? Сколько сотрудников стало к концу года?

Для решения задачи обозначим за $x$ первоначальное количество сотрудников в отделе. В этом случае премия, которую должен был получить каждый сотрудник, составила бы $\frac{72000}{x}$ рублей.

Так как в течение года 6 человек уволились, то к концу года в отделе осталось $x-6$ сотрудников. Премиальный фонд в 72 000 рублей был разделен между ними, и каждый получил по $\frac{72000}{x-6}$ рублей.

Из условия известно, что фактическая премия каждого сотрудника оказалась на 1000 рублей больше, чем предполагалось изначально. На основании этого можно составить уравнение: $$ \frac{72000}{x-6} - \frac{72000}{x} = 1000 $$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 1000: $$ \frac{72}{x-6} - \frac{72}{x} = 1 $$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x-6)$: $$ \frac{72x - 72(x-6)}{x(x-6)} = 1 $$

Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{72x - 72x + 432}{x^2 - 6x} = 1 $$ $$ \frac{432}{x^2 - 6x} = 1 $$

Учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$, получим: $$ x^2 - 6x = 432 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 - 6x - 432 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764 $$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{2} = \frac{6 \pm 42}{2} $$ Получаем два корня: $$ x_1 = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24 $$ $$ x_2 = \frac{6 - 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18 $$

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальное количество сотрудников равно 24.

Сколько сотрудников было в отделе первоначально?

Первоначально в отделе было 24 сотрудника.

Ответ: 24 сотрудника.

Сколько сотрудников стало к концу года?

К концу года количество сотрудников уменьшилось на 6 человек. Найдем итоговое число сотрудников: $$ 24 - 6 = 18 $$ К концу года в отделе стало 18 сотрудников.

Ответ: 18 сотрудников.

271 Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало? Сколько денег пришлось уплатить каждому?

Пусть $x$ — первоначальное количество человек, обедавших вместе. Тогда доля каждого, если бы платили все, составила бы $\frac{175}{x}$ шиллингов.

По условию, у двоих человек не было при себе денег, поэтому счёт оплачивали $x-2$ человека. Каждый из них заплатил на 10 шиллингов больше, чем должен был изначально. Таким образом, фактическая сумма, уплаченная каждым, составила $\frac{175}{x-2}$ шиллингов.

Составим уравнение, связывающее первоначальную и фактическую доли:

$\frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10$

$\frac{350}{x^2 - 2x} = 10$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$, что соответствует смыслу задачи):

$350 = 10(x^2 - 2x)$

Разделим обе части на 10:

$35 = x^2 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -35, а их сумма равна 2. Подбором находим корни: 7 и -5.

Либо решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

Так как количество людей ($x$) не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -5$ не имеет смысла в контексте задачи. Следовательно, верным решением является $x=7$.

Сколько человек обедало?

Первоначальное количество обедавших людей было 7.

Ответ: 7 человек.

Сколько денег пришлось уплатить каждому?

Этот вопрос относится к тем, кто в итоге оплачивал счет. Так как двое не смогли заплатить, плату разделили оставшиеся $7 - 2 = 5$ человек. Сумма, которую заплатил каждый из них, равна:

$\frac{175}{5} = 35$ шиллингов.

Проверка: Изначально каждый должен был заплатить $\frac{175}{7} = 25$ шиллингов. Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 35 шиллингов.

272 Лодка проплыла 18 км по течению реки и за такое же время 10 км против течения реки. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и время движения лодки вниз по реке.

Собственная скорость лодки

Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $V_{соб}$ км/ч. Скорость течения реки по условию составляет $V_{теч} = 2$ км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения: $V_{по\ теч} = V_{соб} + V_{теч} = V_{соб} + 2$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения: $V_{против\ теч} = V_{соб} - V_{теч} = V_{соб} - 2$ км/ч.

Время движения ($t$) находится по формуле $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость. Время, за которое лодка проплыла 18 км по течению, равно: $t_{по\ теч} = \frac{18}{V_{соб} + 2}$ ч.

Время, за которое лодка проплыла 10 км против течения, равно: $t_{против\ теч} = \frac{10}{V_{соб} - 2}$ ч.

По условию задачи, это время одинаково, поэтому мы можем составить уравнение: $\frac{18}{V_{соб} + 2} = \frac{10}{V_{соб} - 2}$

Решим это уравнение относительно $V_{соб}$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$18 \cdot (V_{соб} - 2) = 10 \cdot (V_{соб} + 2)$
$18V_{соб} - 36 = 10V_{соб} + 20$
$18V_{соб} - 10V_{соб} = 20 + 36$
$8V_{соб} = 56$
$V_{соб} = \frac{56}{8}$
$V_{соб} = 7$

Следовательно, собственная скорость лодки составляет 7 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки равна 7 км/ч.

Время движения лодки вниз по реке

Чтобы найти время движения лодки вниз по реке (по течению), подставим найденное значение собственной скорости ($V_{соб} = 7$ км/ч) в формулу для времени движения по течению: $t_{по\ теч} = \frac{18}{V_{соб} + 2}$

$t_{по\ теч} = \frac{18}{7 + 2} = \frac{18}{9} = 2$

Таким образом, время движения лодки вниз по реке составляет 2 часа.

Ответ: время движения лодки вниз по реке составляет 2 часа.

273 Велосипедист проехал $7 \text{ км}$ по шоссе и $5 \text{ км}$ по просёлочной дороге, затратив на весь путь $1 \text{ ч}$. По просёку он ехал со скоростью, на $4 \text{ км/ч}$ меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе? Что ещё можно узнать, используя полученные данные? Сделайте это.

С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по шоссе. Тогда, согласно условию, его скорость по просёлочной дороге равна $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по шоссе, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и составляет $t_1 = \frac{7}{x}$ ч.

Время, затраченное на путь по просёлочной дороге, составляет $t_2 = \frac{5}{x - 4}$ ч.

Общее время в пути равно 1 часу, поэтому мы можем составить уравнение, сложив время, потраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{7}{x} + \frac{5}{x - 4} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей, умножив обе части на $x(x - 4)$. Важно учесть область допустимых значений: скорость не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$. Кроме того, скорость на просёлочной дороге $(x - 4)$ также должна быть положительной, следовательно, $x - 4 > 0$, что означает $x > 4$.

$7(x - 4) + 5x = x(x - 4)$

$7x - 28 + 5x = x^2 - 4x$

$12x - 28 = x^2 - 4x$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 12x + 28 = 0$

$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

Теперь найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-16) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-(-16) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 4$. Корень $x_1 = 14$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = 2$ не подходит, так как в этом случае скорость по просёлочной дороге была бы отрицательной ($2 - 4 = -2$ км/ч), что физически невозможно.

Таким образом, скорость велосипедиста по шоссе составляла 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные? Сделайте это.

Используя найденную скорость по шоссе (14 км/ч), можно вычислить следующие величины:

1. Скорость по просёлочной дороге. Она на 4 км/ч меньше, чем по шоссе:
$14 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

2. Время, затраченное на каждый участок пути.
Время на путь по шоссе: $t_1 = \frac{7 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 0,5$ часа (30 минут).
Время на путь по просёлочной дороге: $t_2 = \frac{5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,5$ часа (30 минут).
Проверка: $0,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 1$ час, что совпадает с общим временем в пути.

3. Общее расстояние, которое проехал велосипедист.
$7 \text{ км} + 5 \text{ км} = 12 \text{ км}$.

4. Среднюю скорость движения на всём пути. Она равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:
$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} = \frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: можно узнать скорость по просёлочной дороге (10 км/ч), время движения по каждому из участков (по 0,5 часа), общее расстояние (12 км) и среднюю скорость на всём пути (12 км/ч).

274 Катер спустился по течению реки, пройдя 28 км, и тотчас вернулся назад, затратив на весь путь 7 ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Какова скорость катера в стоячей воде? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

Какова скорость катера в стоячей воде?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).

Скорость течения реки равна 3 км/ч. Следовательно, скорость катера по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки составляет $(x - 3)$ км/ч. Чтобы катер мог вернуться назад, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Катер прошел 28 км по течению и 28 км против течения. Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$: $$ t_{по\_теч} = \frac{28}{x+3} \text{ ч} $$

Время, затраченное на обратный путь против течения: $$ t_{против\_теч} = \frac{28}{x-3} \text{ ч} $$

Общее время в пути, по условию, равно 7 часам. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $$ \frac{28}{x+3} + \frac{28}{x-3} = 7 $$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 7: $$ \frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = 1 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$: $$ \frac{4(x-3) + 4(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 1 $$ $$ \frac{4x - 12 + 4x + 12}{x^2 - 9} = 1 $$ $$ \frac{8x}{x^2 - 9} = 1 $$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения (при условии $x^2 - 9 \neq 0$): $$ 8x = x^2 - 9 $$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону: $$ x^2 - 8x - 9 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Легко подобрать корни: $$ x_1 = 9 $$ $$ x_2 = -1 $$

Корень $x_2 = -1$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, собственная скорость катера равна 9 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

Используя найденную собственную скорость катера (9 км/ч) и данные из условия задачи (скорость течения 3 км/ч, расстояние 28 км), можно дополнительно вычислить:

1. Скорость катера по течению реки: $v_{по\_теч} = 9 + 3 = 12$ км/ч.

2. Скорость катера против течения реки: $v_{против\_теч} = 9 - 3 = 6$ км/ч.

3. Время, которое катер затратил на путь по течению: $t_{по\_теч} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ ч, что равно 2 часам 20 минутам.

4. Время, которое катер затратил на путь против течения: $t_{против\_теч} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ ч, что равно 4 часам 40 минутам.

5. Разницу во времени движения по течению и против течения: $\Delta t = t_{против\_теч} - t_{по\_теч} = 4 \text{ ч } 40 \text{ мин} - 2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2$ часа 20 минут.

6. Среднюю скорость движения на всем пути: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{28 + 28}{7} = \frac{56}{7} = 8$ км/ч.

Ответ: можно узнать скорость по течению (12 км/ч) и против течения (6 км/ч), время движения в каждом направлении (2 ч 20 мин и 4 ч 40 мин соответственно), разницу во времени (2 ч 20 мин), а также среднюю скорость катера на всем маршруте (8 км/ч).

275. Прогулочный маршрут на лодках включает движение по течению реки на расстояние 10 км и против течения реки на расстояние 6 км. Скорость течения реки 1 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка заняла 2 ч, включая 15-минутную стоянку?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость лодки. Поскольку скорость течения реки равна 1 км/ч, то:

• Скорость лодки по течению реки составляет $(x + 1)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки составляет $(x - 1)$ км/ч.

Важным условием для движения против течения является то, что собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Определим чистое время движения лодки. Общая продолжительность поездки — 2 часа. Из них 15 минут ушло на стоянку. Переведем минуты в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$

Время, которое лодка находилась в движении, составляет:

$T_{движения} = T_{общая} - T_{стоянки} = 2 - 0,25 = 1,75 \text{ ч}$

Для удобства вычислений представим время движения в виде неправильной дроби:

$1,75 = 1 \frac{75}{100} = 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \text{ ч}$

Теперь выразим время движения через расстояние и скорость. Используем формулу $t = S/v$.

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{10}{x + 1}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{6}{x - 1}$ ч.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени движения. Составим и решим уравнение:

$\frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = \frac{7}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{10(x - 1) + 6(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{7}{4}$

$\frac{10x - 10 + 6x + 6}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

$\frac{16x - 4}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$4(16x - 4) = 7(x^2 - 1)$

$64x - 16 = 7x^2 - 7$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 - 64x - 7 + 16 = 0$

$7x^2 - 64x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 - 252 = 3844$

$\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Проверим полученные корни. Ранее мы установили, что собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($x > 1$).

• Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 > 1$).
• Корень $x_2 = 1/7$ не удовлетворяет этому условию ($1/7 < 1$), поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, единственное подходящее значение для собственной скорости лодки — 9 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки должна быть 9 км/ч.

276 Чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, велосипедисту потребуется на 1 ч больше, чем если бы он ехал всё это расстояние по шоссе. Скорость велосипедиста при движении по шоссе на 6 км/ч больше его скорости на просёлочной дороге. Найдите скорость велосипедиста на шоссе.

Пусть скорость велосипедиста на просёлочной дороге равна $x$ км/ч. Согласно условию, его скорость на шоссе на 6 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 6)$ км/ч.

Время, которое велосипедист тратит на 36 км по просёлочной дороге, равно $t_1 = \frac{36}{x}$ ч. Время, затраченное на 9 км по шоссе, равно $t_2 = \frac{9}{x+6}$ ч. Общее время в этом смешанном режиме составляет $T_{смеш} = \frac{36}{x} + \frac{9}{x+6}$ ч.

Общее расстояние, которое проехал велосипедист, составляет $36 + 9 = 45$ км. Если бы он ехал всё это расстояние только по шоссе со скоростью $(x + 6)$ км/ч, он бы затратил $T_{шоссе} = \frac{45}{x+6}$ ч.

По условию задачи, на смешанный путь требуется на 1 час больше, чем на путь только по шоссе. На основе этого составим уравнение:
$T_{смеш} = T_{шоссе} + 1$
$\frac{36}{x} + \frac{9}{x+6} = \frac{45}{x+6} + 1$

Для решения уравнения перенесём член $\frac{9}{x+6}$ из левой части в правую:
$\frac{36}{x} = \frac{45}{x+6} - \frac{9}{x+6} + 1$
$\frac{36}{x} = \frac{45-9}{x+6} + 1$
$\frac{36}{x} = \frac{36}{x+6} + 1$

Теперь перенесём член $\frac{36}{x+6}$ в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+6} = 1$
$\frac{36(x+6) - 36x}{x(x+6)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{36x + 216 - 36x}{x^2 + 6x} = 1$
$\frac{216}{x^2 + 6x} = 1$

Так как скорость $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю. Получаем уравнение:
$x^2 + 6x = 216$
$x^2 + 6x - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на просёлочной дороге равна $12$ км/ч.

Задача требует найти скорость велосипедиста на шоссе. Она равна $x + 6$:
$12 + 6 = 18$ км/ч.
Ответ: 18 км/ч.

277 Из города А в город В, расстояние между которыми 140 км, выехал поезд. В середине пути он был задержан на 24 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в город В без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние составляет 140 км. Поезд был задержан на середине пути, то есть после прохождения $140 / 2 = 70$ км.

Первую половину пути (70 км) поезд проехал со скоростью $v$ км/ч.

Вторую половину пути (70 км) поезд проехал с увеличенной скоростью, равной $(v + 20)$ км/ч.

Задержка составила 24 минуты. Переведем это время в часы для согласованности единиц измерения:$24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

Поезд прибыл в пункт B без опоздания. Это означает, что время, потерянное на задержку, было скомпенсировано за счет увеличения скорости на второй половине пути. Иными словами, время, сэкономленное на втором участке, равно времени задержки.

Время, которое поезд потратил бы на вторую половину пути с первоначальной скоростью: $t_1 = \frac{70}{v}$ часов.

Время, которое поезд фактически потратил на вторую половину пути с увеличенной скоростью: $t_2 = \frac{70}{v+20}$ часов.

Разница во времени $t_1 - t_2$ и есть сэкономленное время, которое равно времени задержки. Составим уравнение:$\frac{70}{v} - \frac{70}{v+20} = \frac{2}{5}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+20)$:$\frac{70(v+20) - 70v}{v(v+20)} = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{70v + 1400 - 70v}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1400}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:$2(v^2 + 20v) = 1400 \cdot 5$

$2v^2 + 40v = 7000$

Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 20v = 3500$

Получим квадратное уравнение:$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

$\sqrt{D} = \sqrt{14400} = 120$

Теперь найдем возможные значения скорости $v$:$v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -70$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, первоначальная скорость поезда составляла 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.