Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

262 а) Является ли какое-нибудь из чисел 1 и 2 корнем уравнения $\frac{(x-1)(x-2)}{3x^2 - 9x + 6} = 0?$

б) Есть ли среди чисел -1, 1, -2 и 2 хотя бы один корень уравнения $\frac{(x+1)(x-1)(x+2)}{x^4 - 13x^2 + 36} = 0?$

а) Чтобы проверить, является ли какое-нибудь из чисел 1 и 2 корнем уравнения $\frac{(x-1)(x-2)}{3x^2 - 9x + 6} = 0$, необходимо подставить эти значения в уравнение и проверить выполнение условия для корня рационального уравнения: числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Найдем значения $x$, при которых числитель $(x-1)(x-2)$ обращается в ноль.
$(x-1)(x-2) = 0$
Решениями этого уравнения являются $x=1$ и $x=2$. Это потенциальные корни.

2. Теперь проверим, не обращается ли знаменатель $3x^2 - 9x + 6$ в ноль при этих значениях. Это является проверкой на принадлежность к Области Допустимых Значений (ОДЗ).

Проверка для $x=1$:
Подставляем в знаменатель: $3(1)^2 - 9(1) + 6 = 3 - 9 + 6 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, деление на ноль невозможно. Следовательно, $x=1$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x=2$:
Подставляем в знаменатель: $3(2)^2 - 9(2) + 6 = 3 \cdot 4 - 18 + 6 = 12 - 18 + 6 = 0$.
Поскольку знаменатель также равен нулю, $x=2$ не является корнем уравнения.

Ответ: Нет, ни число 1, ни число 2 не являются корнями уравнения, так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль.

б) Чтобы выяснить, есть ли среди чисел -1, 1, -2 и 2 хотя бы один корень уравнения $\frac{(x+1)(x-1)(x+2)}{x^4 - 13x^2 + 36} = 0$, подставим каждое из этих чисел в уравнение и проверим, выполняется ли для них условие корня (числитель равен 0, знаменатель не равен 0).

Проверка числа $x = -1$:
Числитель: $(-1+1)(-1-1)(-1+2) = 0 \cdot (-2) \cdot 1 = 0$.
Знаменатель: $(-1)^4 - 13(-1)^2 + 36 = 1 - 13(1) + 36 = 1 - 13 + 36 = 24$.
Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0 ($24 \neq 0$), число $x=-1$ является корнем уравнения.

Проверка числа $x = 1$:
Числитель: $(1+1)(1-1)(1+2) = 2 \cdot 0 \cdot 3 = 0$.
Знаменатель: $(1)^4 - 13(1)^2 + 36 = 1 - 13 + 36 = 24$.
Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0 ($24 \neq 0$), число $x=1$ является корнем уравнения.

Проверка числа $x = -2$:
Числитель: $(-2+1)(-2-1)(-2+2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 0 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^4 - 13(-2)^2 + 36 = 16 - 13(4) + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, число $x=-2$ не является корнем уравнения.

Проверка числа $x = 2$:
Числитель: $(2+1)(2-1)(2+2) = 3 \cdot 1 \cdot 4 = 12$.
Знаменатель: $(2)^4 - 13(2)^2 + 36 = 16 - 13(4) + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, число $x=2$ не является корнем уравнения.

Среди предложенных чисел корнями являются -1 и 1. Так как мы нашли хотя бы один корень, ответ на вопрос задачи утвердительный.

Ответ: Да, есть. Корнями из данного набора чисел являются -1 и 1.

263 Решите уравнение, опираясь на условие равенства дроби нулю:

а) $\frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0;$

в) $\frac{x^2 + x}{x + 1} = 0;$

г) $\frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0;$

д) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0;$

е) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0.$

а) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю (область допустимых значений):
$3x + 6 \neq 0$
$3x \neq -6$
$x \neq -2$
Оба корня ($0$ и $2$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $0; 2$.

б) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Проверим знаменатель:
$4x^2 - x - 3 \neq 0$
Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - x - 3 = 0$, чтобы исключить их.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm 7}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$
Значения, при которых знаменатель равен нулю: $x = \frac{1+7}{8} = 1$ и $x = \frac{1-7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Значит, область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{4}$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-1$.

в) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Проверим знаменатель:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.
Ответ: $0$.

г) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Проверим знаменатель:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Оба корня ($0$ и $4$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $0; 4$.

д) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 3x - 18 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 9}{2}$
$x_1 = \frac{3+9}{2} = 6$, $x_2 = \frac{3-9}{2} = -3$.
Проверим знаменатель:
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию.
Ответ: $6$.

е) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Проверим знаменатель:
$x^2 + 8x + 12 \neq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$, чтобы исключить их.
По теореме Виета: сумма корней равна $-8$, произведение равно $12$. Корни $-2$ и $-6$.
Значит, область допустимых значений: $x \neq -2$ и $x \neq -6$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условиям $x \neq -2$ и $x \neq -6$.
Ответ: $-3$.

264 При каких значениях $a$ значение данной дроби равно 0:

а) $\frac{3a^2}{a^2+3}$;

б) $\frac{9a^2}{a^2-a}$;

в) $\frac{4a^2+1}{a^2-1}$;

г) $\frac{a^2-3a}{a^2+a-12}$?

а) Значение дроби равно нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравняем числитель дроби $\frac{3a^2}{a^2 + 3}$ к нулю:
$3a^2 = 0$
$a^2 = 0$
$a = 0$
Теперь проверим, не обращается ли в нуль знаменатель при этом значении $a$. Знаменатель равен $a^2 + 3$.
При $a = 0$ знаменатель равен $0^2 + 3 = 3$.
Поскольку $3 \neq 0$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, при $a=0$ дробь равна нулю.
Ответ: $a=0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{9a^2}{a^2 - a}$.
Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Приравняем числитель к нулю:
$9a^2 = 0$, откуда $a = 0$.
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $a$, при которых знаменатель не равен нулю:
$a^2 - a \neq 0$
$a(a - 1) \neq 0$
Отсюда $a \neq 0$ и $a \neq 1$.
Корень числителя $a = 0$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в нуль ($0^2 - 0 = 0$). Таким образом, не существует значений $a$, при которых данная дробь равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.

в) Рассмотрим дробь $\frac{4a^2 + 1}{a^2 - 1}$.
Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю.
$4a^2 + 1 = 0$
$4a^2 = -1$
$a^2 = -\frac{1}{4}$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Поскольку числитель никогда не равен нулю (для действительных $a$), то и вся дробь никогда не равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.

г) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + a - 12}$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Найдем корни числителя:
$a^2 - 3a = 0$
$a(a - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$.
2. Проверим, при каких значениях $a$ знаменатель обращается в нуль (эти значения нужно исключить):
$a^2 + a - 12 = 0$
Используя теорему Виета (сумма корней $-1$, произведение $-12$), находим корни: $a_3 = -4$ и $a_4 = 3$.
Значит, область допустимых значений (ОДЗ) для данной дроби: $a \neq -4$ и $a \neq 3$.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $a_1 = 0$ входит в ОДЗ. При $a = 0$ знаменатель равен $0^2+0-12 = -12 \neq 0$. Значит, $a=0$ является решением.
Корень $a_2 = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $a=3$ знаменатель обращается в нуль. Следовательно, $a=3$ не является решением.
Таким образом, единственное значение $a$, при котором дробь равна нулю, это $a=0$.
Ответ: $a=0$.

265 Решите уравнение с использованием основного свойства пропорции:

а) $ \frac{y - 5}{y + 5} = \frac{1}{3}; $

б) $ \frac{15}{8 - z} = \frac{1}{2}; $

В) $ \frac{3}{x - 4} = \frac{4}{x - 3}; $

Г) $ \frac{2 - z}{3 - z} = \frac{z}{z + 4}; $

Д) $ \frac{t}{2t - 3} - \frac{3}{t} = 0; $

е) $ \frac{2y - 1}{y} - \frac{y + 7}{y + 3} = 0. $

Совет. Чтобы выяснить, не являются ли корни получившегося целого уравнения посторонними для исходного дробного уравнения, не обязательно выполнять подстановку этих чисел в знаменатели дробей. Можно найти корни знаменателей и сопоставить их с найденными числами.

а) Данное уравнение: $\frac{y - 5}{y + 5} = \frac{1}{3}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $y + 5 \ne 0$, следовательно, $y \ne -5$.
Применяем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3 \cdot (y - 5) = 1 \cdot (y + 5)$
$3y - 15 = y + 5$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа в правую:
$3y - y = 5 + 15$
$2y = 20$
$y = \frac{20}{2}$
$y = 10$
Полученный корень $y = 10$ удовлетворяет условию ОДЗ ($y \ne -5$), значит, он является решением уравнения.
Ответ: $10$.

б) Данное уравнение: $\frac{15}{8 - z} = \frac{1}{z}$.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $8 - z \ne 0$ и $z \ne 0$. Отсюда $z \ne 8$ и $z \ne 0$.
Применяем основное свойство пропорции:
$15 \cdot z = 1 \cdot (8 - z)$
$15z = 8 - z$
$15z + z = 8$
$16z = 8$
$z = \frac{8}{16}$
$z = \frac{1}{2}$
Найденный корень $z = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($z \ne 8$ и $z \ne 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Данное уравнение: $\frac{3}{x - 4} = \frac{4}{x - 3}$.
ОДЗ: $x - 4 \ne 0$ и $x - 3 \ne 0$. Отсюда $x \ne 4$ и $x \ne 3$.
Применяем основное свойство пропорции:
$3 \cdot (x - 3) = 4 \cdot (x - 4)$
$3x - 9 = 4x - 16$
$16 - 9 = 4x - 3x$
$7 = x$
Корень $x = 7$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \ne 4$ и $x \ne 3$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $7$.

г) Данное уравнение: $\frac{2 - z}{3 - z} = \frac{z}{z + 4}$.
ОДЗ: $3 - z \ne 0$ и $z + 4 \ne 0$. Отсюда $z \ne 3$ и $z \ne -4$.
Применяем основное свойство пропорции:
$(2 - z) \cdot (z + 4) = z \cdot (3 - z)$
Раскроем скобки:
$2z + 8 - z^2 - 4z = 3z - z^2$
Приведем подобные слагаемые:
$8 - 2z - z^2 = 3z - z^2$
Прибавим к обеим частям $z^2$:
$8 - 2z = 3z$
$8 = 3z + 2z$
$8 = 5z$
$z = \frac{8}{5} = 1.6$
Корень $z = 1.6$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($z \ne 3$ и $z \ne -4$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $1.6$.

д) Данное уравнение: $\frac{t}{2t - 3} - \frac{3}{t} = 0$.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, чтобы получить пропорцию:
$\frac{t}{2t - 3} = \frac{3}{t}$
ОДЗ: $2t - 3 \ne 0$ и $t \ne 0$. Отсюда $t \ne \frac{3}{2}$ и $t \ne 0$.
Применяем основное свойство пропорции:
$t \cdot t = 3 \cdot (2t - 3)$
$t^2 = 6t - 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 9 = 0$
Это полный квадрат разности: $(t - 3)^2 = 0$.
$t - 3 = 0$
$t = 3$
Корень $t = 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($t \ne \frac{3}{2}$ и $t \ne 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $3$.

е) Данное уравнение: $\frac{2y - 1}{y} - \frac{y + 7}{y + 3} = 0$.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, чтобы получить пропорцию:
$\frac{2y - 1}{y} = \frac{y + 7}{y + 3}$
ОДЗ: $y \ne 0$ и $y + 3 \ne 0$. Отсюда $y \ne 0$ и $y \ne -3$.
Применяем основное свойство пропорции:
$(2y - 1) \cdot (y + 3) = y \cdot (y + 7)$
Раскроем скобки:
$2y^2 + 6y - y - 3 = y^2 + 7y$
$2y^2 + 5y - 3 = y^2 + 7y$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2y^2 - y^2 + 5y - 7y - 3 = 0$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $2$, произведение корней равно $-3$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.
$y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Оба корня ($3$ и $-1$) удовлетворяют условиям ОДЗ ($y \ne 0$ и $y \ne -3$), следовательно, оба являются решениями уравнения.
Ответ: $-1; 3$.

266 Найдите корни уравнения:

а) $\frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0;$

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0;$

г) $\frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0.$

а) $ \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы (найдем корни числителя):
$ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
$ x_1 = 2, x_2 = -2 $

2. Решим второе условие системы (найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль):
$ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) = 0 $
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $ или $ x^2 - 2x - 3 = 0 $
Для первого квадратного уравнения по теореме Виета корни $ x = 1 $ и $ x = 2 $.
Для второго квадратного уравнения по теореме Виета корни $ x = 3 $ и $ x = -1 $.
Следовательно, знаменатель не должен быть равен нулю при $ x \neq 1, x \neq 2, x \neq 3, x \neq -1 $.

3. Проверим корни числителя на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Корень $ x_1 = 2 $ не является решением, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль ($ x \neq 2 $).
Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет условию, так как он не входит в числа, обращающие знаменатель в ноль.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: -2

б) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 = 0 \\ x^3 - 2x^2 + 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корни: $ x_1 = 1, x_2 = 6 $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^3 - 2x^2 + 1 = 0 $.
Заметим, что $ x=1 $ является корнем, так как $ 1^3 - 2(1^2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $.
Разделим многочлен $ x^3 - 2x^2 + 1 $ на $ (x-1) $:
$ x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 - x^2 - x^2 + 1 = x^2(x-1) - (x^2-1) = x^2(x-1) - (x-1)(x+1) = (x-1)(x^2 - x - 1) $.
Значит, уравнение знаменателя можно переписать как $ (x-1)(x^2-x-1) = 0 $.
Корни: $ x = 1 $ и корни уравнения $ x^2-x-1=0 $.
Решим $ x^2-x-1=0 $ с помощью дискриминанта: $ D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1+4=5 $.
Корни $ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Итак, знаменатель равен нулю при $ x = 1, x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ не является решением, так как при этом значении знаменатель равен нулю.
Корень $ x_2 = 6 $ удовлетворяет условию $ x^3 - 2x^2 + 1 \neq 0 $.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: 6

в) $ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x + 1 = 0 \\ (x^2 + 1)(x^2 - 1) \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:
$ x^2 + 2x + 1 = 0 $
Это формула квадрата суммы: $ (x+1)^2 = 0 $.
Отсюда $ x+1 = 0 $, значит $ x = -1 $ (корень кратности 2).

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$ (x^2 + 1)(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 + 1 = 0 $ или $ x^2 - 1 = 0 $
Уравнение $ x^2 = -1 $ не имеет действительных корней.
Уравнение $ x^2 = 1 $ имеет корни $ x = 1 $ и $ x = -1 $.
Значит, ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

3. Проверим корень числителя.
Корень $ x = -1 $ не является решением, так как он не входит в ОДЗ.

Таким образом, у уравнения нет корней.

Ответ: нет корней

г) $ \frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x^2 - 2 = 0 \\ (x^2 - 2x + 2)^2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:
$ 2x^2 - 2 = 0 $
$ 2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 = 1 $
$ x_1 = 1, x_2 = -1 $.

2. Проверим знаменатель.
Условие $ (x^2 - 2x + 2)^2 \neq 0 $ равносильно $ x^2 - 2x + 2 \neq 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 - 2x + 2 $:
$ D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 $.
Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $ x^2 - 2x + 2 $ всегда больше нуля при любом действительном $x$.
Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

3. Все найденные корни числителя входят в ОДЗ.

Значит, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: -1; 1

267 На рисунке 3.7 схематически изображены графики трёх функций, заданных формулами. Эти графики — гиперболы, штриховыми линиями показаны их асимптоты. В каждом случае определите координаты точек A, B и C.

a) $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$

б) $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$

в) $y = \frac{-0.5x + 2}{x + 2}$

Рис. 3.7

а) Для функции $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$ и соответствующего ей графика (а) найдем координаты точек A, B и C.
Точка A является точкой пересечения графика с осью Oy. Для ее нахождения подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = 0.5$. Таким образом, координаты точки A: $(0; 0.5)$.
Точка B является точкой пересечения графика с осью Ox. Для ее нахождения приравняем $y$ к нулю: $\frac{2x - 1}{x - 2} = 0$, откуда $2x - 1 = 0$, что дает $x=0.5$. Координаты точки B: $(0.5; 0)$.
Точка C, согласно рисунку, является точкой пересечения вертикальной асимптоты с осью Ox. Уравнение вертикальной асимптоты определяется нулем знаменателя: $x - 2 = 0$, то есть $x=2$. Поскольку точка C лежит на оси Ox, ее вторая координата равна 0. Координаты точки C: $(2; 0)$.
Ответ: A(0; 0.5), B(0.5; 0), C(2; 0).

б) Для функции $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$ и соответствующего ей графика (б) найдем координаты точек A, B и C.
На данном графике точка A является точкой пересечения с осью Ox. При $y=0$ имеем $\frac{2x + 6}{x - 1} = 0$, откуда $2x + 6 = 0$, что дает $x=-3$. Координаты точки A: $(-3; 0)$.
Точка B является точкой пересечения с осью Oy. При $x=0$ имеем $y = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6$. Координаты точки B: $(0; -6)$.
Точка C является точкой пересечения вертикальной асимптоты с осью Ox. Уравнение вертикальной асимптоты: $x - 1 = 0$, то есть $x=1$. Координаты точки C: $(1; 0)$.
Ответ: A(-3; 0), B(0; -6), C(1; 0).

в) Для функции $y = \frac{-0.5x + 2}{x + 2}$ и соответствующего ей графика (в) найдем координаты точек A, B и C.
На данном графике точка A является точкой пересечения с осью Ox. При $y=0$ имеем $\frac{-0.5x + 2}{x + 2} = 0$, откуда $-0.5x + 2 = 0$, что дает $0.5x = 2$ и $x=4$. Координаты точки A: $(4; 0)$.
Точка B является точкой пересечения с осью Oy. При $x=0$ имеем $y = \frac{-0.5 \cdot 0 + 2}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1$. Координаты точки B: $(0; 1)$.
Точка C является точкой пересечения вертикальной асимптоты с осью Ox. Уравнение вертикальной асимптоты: $x + 2 = 0$, то есть $x=-2$. Координаты точки C: $(-2; 0)$.
Ответ: A(4; 0), B(0; 1), C(-2; 0).