Номер 266, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 266, страница 99.

266 Найдите корни уравнения:

а) $\frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0;$

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0;$

г) $\frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0.$

а) $ \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы (найдем корни числителя):
$ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
$ x_1 = 2, x_2 = -2 $

2. Решим второе условие системы (найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль):
$ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) = 0 $
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $ или $ x^2 - 2x - 3 = 0 $
Для первого квадратного уравнения по теореме Виета корни $ x = 1 $ и $ x = 2 $.
Для второго квадратного уравнения по теореме Виета корни $ x = 3 $ и $ x = -1 $.
Следовательно, знаменатель не должен быть равен нулю при $ x \neq 1, x \neq 2, x \neq 3, x \neq -1 $.

3. Проверим корни числителя на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Корень $ x_1 = 2 $ не является решением, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль ($ x \neq 2 $).
Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет условию, так как он не входит в числа, обращающие знаменатель в ноль.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: -2

б) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 = 0 \\ x^3 - 2x^2 + 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корни: $ x_1 = 1, x_2 = 6 $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^3 - 2x^2 + 1 = 0 $.
Заметим, что $ x=1 $ является корнем, так как $ 1^3 - 2(1^2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $.
Разделим многочлен $ x^3 - 2x^2 + 1 $ на $ (x-1) $:
$ x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 - x^2 - x^2 + 1 = x^2(x-1) - (x^2-1) = x^2(x-1) - (x-1)(x+1) = (x-1)(x^2 - x - 1) $.
Значит, уравнение знаменателя можно переписать как $ (x-1)(x^2-x-1) = 0 $.
Корни: $ x = 1 $ и корни уравнения $ x^2-x-1=0 $.
Решим $ x^2-x-1=0 $ с помощью дискриминанта: $ D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1+4=5 $.
Корни $ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Итак, знаменатель равен нулю при $ x = 1, x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ не является решением, так как при этом значении знаменатель равен нулю.
Корень $ x_2 = 6 $ удовлетворяет условию $ x^3 - 2x^2 + 1 \neq 0 $.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: 6

в) $ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x + 1 = 0 \\ (x^2 + 1)(x^2 - 1) \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:
$ x^2 + 2x + 1 = 0 $
Это формула квадрата суммы: $ (x+1)^2 = 0 $.
Отсюда $ x+1 = 0 $, значит $ x = -1 $ (корень кратности 2).

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$ (x^2 + 1)(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 + 1 = 0 $ или $ x^2 - 1 = 0 $
Уравнение $ x^2 = -1 $ не имеет действительных корней.
Уравнение $ x^2 = 1 $ имеет корни $ x = 1 $ и $ x = -1 $.
Значит, ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

3. Проверим корень числителя.
Корень $ x = -1 $ не является решением, так как он не входит в ОДЗ.

Таким образом, у уравнения нет корней.

Ответ: нет корней

г) $ \frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x^2 - 2 = 0 \\ (x^2 - 2x + 2)^2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:
$ 2x^2 - 2 = 0 $
$ 2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 = 1 $
$ x_1 = 1, x_2 = -1 $.

2. Проверим знаменатель.
Условие $ (x^2 - 2x + 2)^2 \neq 0 $ равносильно $ x^2 - 2x + 2 \neq 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 - 2x + 2 $:
$ D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 $.
Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $ x^2 - 2x + 2 $ всегда больше нуля при любом действительном $x$.
Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

3. Все найденные корни числителя входят в ОДЗ.

Значит, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: -1; 1