Номер 265, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 265, страница 99.

265 Решите уравнение с использованием основного свойства пропорции:

а) $ \frac{y - 5}{y + 5} = \frac{1}{3}; $

б) $ \frac{15}{8 - z} = \frac{1}{2}; $

В) $ \frac{3}{x - 4} = \frac{4}{x - 3}; $

Г) $ \frac{2 - z}{3 - z} = \frac{z}{z + 4}; $

Д) $ \frac{t}{2t - 3} - \frac{3}{t} = 0; $

е) $ \frac{2y - 1}{y} - \frac{y + 7}{y + 3} = 0. $

Совет. Чтобы выяснить, не являются ли корни получившегося целого уравнения посторонними для исходного дробного уравнения, не обязательно выполнять подстановку этих чисел в знаменатели дробей. Можно найти корни знаменателей и сопоставить их с найденными числами.

а) Данное уравнение: $\frac{y - 5}{y + 5} = \frac{1}{3}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $y + 5 \ne 0$, следовательно, $y \ne -5$.
Применяем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3 \cdot (y - 5) = 1 \cdot (y + 5)$
$3y - 15 = y + 5$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа в правую:
$3y - y = 5 + 15$
$2y = 20$
$y = \frac{20}{2}$
$y = 10$
Полученный корень $y = 10$ удовлетворяет условию ОДЗ ($y \ne -5$), значит, он является решением уравнения.
Ответ: $10$.

б) Данное уравнение: $\frac{15}{8 - z} = \frac{1}{z}$.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $8 - z \ne 0$ и $z \ne 0$. Отсюда $z \ne 8$ и $z \ne 0$.
Применяем основное свойство пропорции:
$15 \cdot z = 1 \cdot (8 - z)$
$15z = 8 - z$
$15z + z = 8$
$16z = 8$
$z = \frac{8}{16}$
$z = \frac{1}{2}$
Найденный корень $z = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($z \ne 8$ и $z \ne 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Данное уравнение: $\frac{3}{x - 4} = \frac{4}{x - 3}$.
ОДЗ: $x - 4 \ne 0$ и $x - 3 \ne 0$. Отсюда $x \ne 4$ и $x \ne 3$.
Применяем основное свойство пропорции:
$3 \cdot (x - 3) = 4 \cdot (x - 4)$
$3x - 9 = 4x - 16$
$16 - 9 = 4x - 3x$
$7 = x$
Корень $x = 7$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \ne 4$ и $x \ne 3$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $7$.

г) Данное уравнение: $\frac{2 - z}{3 - z} = \frac{z}{z + 4}$.
ОДЗ: $3 - z \ne 0$ и $z + 4 \ne 0$. Отсюда $z \ne 3$ и $z \ne -4$.
Применяем основное свойство пропорции:
$(2 - z) \cdot (z + 4) = z \cdot (3 - z)$
Раскроем скобки:
$2z + 8 - z^2 - 4z = 3z - z^2$
Приведем подобные слагаемые:
$8 - 2z - z^2 = 3z - z^2$
Прибавим к обеим частям $z^2$:
$8 - 2z = 3z$
$8 = 3z + 2z$
$8 = 5z$
$z = \frac{8}{5} = 1.6$
Корень $z = 1.6$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($z \ne 3$ и $z \ne -4$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $1.6$.

д) Данное уравнение: $\frac{t}{2t - 3} - \frac{3}{t} = 0$.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, чтобы получить пропорцию:
$\frac{t}{2t - 3} = \frac{3}{t}$
ОДЗ: $2t - 3 \ne 0$ и $t \ne 0$. Отсюда $t \ne \frac{3}{2}$ и $t \ne 0$.
Применяем основное свойство пропорции:
$t \cdot t = 3 \cdot (2t - 3)$
$t^2 = 6t - 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 9 = 0$
Это полный квадрат разности: $(t - 3)^2 = 0$.
$t - 3 = 0$
$t = 3$
Корень $t = 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($t \ne \frac{3}{2}$ и $t \ne 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $3$.

е) Данное уравнение: $\frac{2y - 1}{y} - \frac{y + 7}{y + 3} = 0$.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, чтобы получить пропорцию:
$\frac{2y - 1}{y} = \frac{y + 7}{y + 3}$
ОДЗ: $y \ne 0$ и $y + 3 \ne 0$. Отсюда $y \ne 0$ и $y \ne -3$.
Применяем основное свойство пропорции:
$(2y - 1) \cdot (y + 3) = y \cdot (y + 7)$
Раскроем скобки:
$2y^2 + 6y - y - 3 = y^2 + 7y$
$2y^2 + 5y - 3 = y^2 + 7y$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2y^2 - y^2 + 5y - 7y - 3 = 0$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $2$, произведение корней равно $-3$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.
$y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Оба корня ($3$ и $-1$) удовлетворяют условиям ОДЗ ($y \ne 0$ и $y \ne -3$), следовательно, оба являются решениями уравнения.
Ответ: $-1; 3$.