Номер 263, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 263, страница 99.

263 Решите уравнение, опираясь на условие равенства дроби нулю:

а) $\frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0;$

в) $\frac{x^2 + x}{x + 1} = 0;$

г) $\frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0;$

д) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0;$

е) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0.$

а) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю (область допустимых значений):
$3x + 6 \neq 0$
$3x \neq -6$
$x \neq -2$
Оба корня ($0$ и $2$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $0; 2$.

б) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Проверим знаменатель:
$4x^2 - x - 3 \neq 0$
Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - x - 3 = 0$, чтобы исключить их.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm 7}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$
Значения, при которых знаменатель равен нулю: $x = \frac{1+7}{8} = 1$ и $x = \frac{1-7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Значит, область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{4}$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-1$.

в) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Проверим знаменатель:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.
Ответ: $0$.

г) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Проверим знаменатель:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Оба корня ($0$ и $4$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $0; 4$.

д) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 3x - 18 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 9}{2}$
$x_1 = \frac{3+9}{2} = 6$, $x_2 = \frac{3-9}{2} = -3$.
Проверим знаменатель:
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию.
Ответ: $6$.

е) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Проверим знаменатель:
$x^2 + 8x + 12 \neq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$, чтобы исключить их.
По теореме Виета: сумма корней равна $-8$, произведение равно $12$. Корни $-2$ и $-6$.
Значит, область допустимых значений: $x \neq -2$ и $x \neq -6$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условиям $x \neq -2$ и $x \neq -6$.
Ответ: $-3$.