Номер 257, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 257, страница 98.

257 Найдите значения переменных, при которых:

а) дробь $\frac{2a - 1}{a + 6}$ принимает значение, равное 5; -3; 0;

б) дробь $\frac{c^2 + c - 2}{c + 6}$ принимает значение равное -10; 0; -1.

а) Найдем значения переменной a, при которых дробь $\frac{2a-1}{a+6}$ принимает значения, равные 5; -3; 0.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной дроби: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $a+6 \neq 0$, откуда $a \neq -6$.

1. Приравняем дробь к 5 и решим уравнение:

$\frac{2a-1}{a+6} = 5$

$2a-1 = 5(a+6)$

$2a-1 = 5a+30$

$2a-5a = 30+1$

$-3a = 31$

$a = -\frac{31}{3}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

2. Приравняем дробь к -3 и решим уравнение:

$\frac{2a-1}{a+6} = -3$

$2a-1 = -3(a+6)$

$2a-1 = -3a-18$

$2a+3a = -18+1$

$5a = -17$

$a = -\frac{17}{5}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

3. Приравняем дробь к 0:

$\frac{2a-1}{a+6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2a-1 = 0$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: дробь принимает значение 5 при $a = -\frac{31}{3}$; значение -3 при $a = -\frac{17}{5}$; значение 0 при $a = \frac{1}{2}$.

б) Найдем значения переменной c, при которых дробь $\frac{c^2+c-2}{c+6}$ принимает значения, равные -10; 0; -1.

ОДЗ для данной дроби: $c+6 \neq 0$, откуда $c \neq -6$.

1. Приравняем дробь к -10 и решим уравнение:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = -10$

$c^2+c-2 = -10(c+6)$

$c^2+c-2 = -10c-60$

$c^2+11c+58 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 58 = 121 - 232 = -111$.

Поскольку $D < 0$, у данного уравнения нет действительных корней.

2. Приравняем дробь к 0:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = 0$

Числитель должен быть равен нулю: $c^2+c-2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корни уравнения: $c_1 = 1$, $c_2 = -2$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3. Приравняем дробь к -1 и решим уравнение:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = -1$

$c^2+c-2 = -1(c+6)$

$c^2+c-2 = -c-6$

$c^2+2c+4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D < 0$, у данного уравнения нет действительных корней.

Ответ: дробь принимает значение 0 при $c=1$ и $c=-2$; не существует действительных значений $c$, при которых дробь принимает значения -10 или -1.