Номер 258, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 258, страница 98.

Решите уравнение (№ 258-261):

258 a) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$

а) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Знаменатель в правой части $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, что дает те же ограничения: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2-1}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$(x+2)(x-1) + (x+3)(x+1) = 4$

Раскроем скобки:

$(x^2 - x + 2x - 2) + (x^2 + x + 3x + 3) = 4$

$(x^2 + x - 2) + (x^2 + 4x + 3) = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5x + 1 = 4$

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Оба корня ($ \frac{1}{2} $ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $-3; \frac{1}{2}$.

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Таким образом, $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(4-x)(x-2) + (x-1)(x+2) = x^2$

Раскроем скобки:

$(4x - 8 - x^2 + 2x) + (x^2 + 2x - x - 2) = x^2$

$(-x^2 + 6x - 8) + (x^2 + x - 2) = x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$7x - 10 = x^2$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq \pm 2$). Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$

Преобразуем знаменатели для нахождения общего:

$3-x = -(x-3)$

$4x^2-36 = 4(x^2-9) = 4(x-3)(x+3)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{-(x-3)} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

$\frac{2x}{x+3} + \frac{x}{x-3} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Таким образом, $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $4(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2x \cdot 4(x-3) + x \cdot 4(x+3) = 9$

$8x(x-3) + 4x(x+3) = 9$

Раскроем скобки:

$8x^2 - 24x + 4x^2 + 12x = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 - 12x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$4x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

Оба корня ($1.5$ и $-0.5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: $-0.5; 1.5$.

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$

Преобразуем знаменатели:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$2-x = -(x-2)$

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x-2} = \frac{2x}{x+2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Таким образом, $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$5 - x(x+2) = 2x(x-2)$

Раскроем скобки:

$5 - x^2 - 2x = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - 4x + x^2 + 2x - 5 = 0$

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Оба корня ($-1$ и $\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: $-1; \frac{5}{3}$.