Номер 254, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 254, страница 98.

254 Известно, что сумма некоторого числа и числа, ему обратного, равна 2,9. Найдите это число.

Пусть искомое число равно $x$. По условию, это число не равно нулю, так как для него существует обратное число. Число, обратное к $x$, равно $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, сумма этого числа и обратного ему числа равна 2,9. Мы можем составить следующее уравнение:

$x + \frac{1}{x} = 2,9$

Для решения этого уравнения преобразуем его. Сначала представим десятичную дробь 2,9 в виде обыкновенной дроби:

$2,9 = \frac{29}{10}$

Теперь подставим это значение в уравнение:

$x + \frac{1}{x} = \frac{29}{10}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $10x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$10x \cdot x + 10x \cdot \frac{1}{x} = 10x \cdot \frac{29}{10}$

$10x^2 + 10 = 29x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 29x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 10$, $b = -29$, $c = 10$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$

Оба найденных числа удовлетворяют условию задачи. Если искомое число 2,5, то обратное ему — 0,4, и их сумма $2,5 + 0,4 = 2,9$. Если искомое число 0,4, то обратное ему — 2,5, и их сумма $0,4 + 2,5 = 2,9$.

Ответ: 2,5 или 0,4.