Номер 259, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 259, страница 98.

Решите уравнение (№ 258-261):

259 а) $\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$

б) $\frac{6}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x - 3}{x^2 - 2x}$

В) $\frac{x - 1}{x} - \frac{1}{x - 6} = \frac{6}{6x - x^2}$

Г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x - 20}{5x - x^2}$

а) Решим уравнение $ \frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x \neq 0 $ и $ x + 2 \neq 0 $. Также знаменатель правой части $ x^2 + 2x = x(x+2) $ не должен быть равен нулю. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

Наименьший общий знаменатель для дробей в уравнении — это $ x(x+2) $. Умножим обе части уравнения на $ x(x+2) $, чтобы избавиться от знаменателей:

$ \frac{6 \cdot x(x+2)}{x} + \frac{(x+3) \cdot x(x+2)}{x+2} = \frac{(4x+6) \cdot x(x+2)}{x(x+2)} $

$ 6(x+2) + x(x+3) = 4x+6 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6x + 12 + x^2 + 3x = 4x+6 $

$ x^2 + 9x + 12 = 4x+6 $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$ x^2 + 9x - 4x + 12 - 6 = 0 $

$ x^2 + 5x + 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней $ x_1 + x_2 = -5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни уравнения: $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = -3 $.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq -2 $). Корень $ x_1 = -2 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

---

б) Решим уравнение $ \frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x} $.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю: $ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x \neq 0 $. Знаменатель правой части $ x^2-2x = x(x-2) $ также не равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.

Наименьший общий знаменатель равен $ x(x-2) $. Умножим обе части уравнения на $ x(x-2) $:

$ \frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} + \frac{2 \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x-3) \cdot x(x-2)}{x(x-2)} $

$ 6x + 2(x-2) = x-3 $

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$ 6x + 2x - 4 = x-3 $

$ 8x - 4 = x-3 $

$ 8x - x = 4 - 3 $

$ 7x = 1 $

$ x = \frac{1}{7} $

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 2 $). Корень $ x = \frac{1}{7} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

---

в) Решим уравнение $ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2} $.

Преобразуем знаменатель в правой части: $ 6x - x^2 = -x(x-6) $. Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{-x(x-6)} $

$ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = -\frac{6}{x(x-6)} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $.

Наименьший общий знаменатель равен $ x(x-6) $. Умножим обе части на него:

$ (x-1)(x-6) - 1 \cdot x = -6 $

Раскроем скобки и упростим:

$ x^2 - 6x - x + 6 - x = -6 $

$ x^2 - 8x + 6 = -6 $

$ x^2 - 8x + 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 8 $, произведение $ x_1 \cdot x_2 = 12 $. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 6 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 6 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = 6 $ не входит в ОДЗ, это посторонний корень.

Ответ: 2.

---

г) Решим уравнение $ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2} $.

Преобразуем знаменатель в правой части: $ 5x - x^2 = -x(x-5) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{-x(x-5)} $

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = -\frac{x-20}{x(x-5)} $

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{20-x}{x(x-5)} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ x(x-5) $:

$ 4(x-5) + 3x = 20-x $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x - 20 + 3x = 20-x $

$ 7x - 20 = 20-x $

$ 7x + x = 20 + 20 $

$ 8x = 40 $

$ x = 5 $

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 5 $). Корень $ x=5 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: корней нет.