Номер 259, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.4 Дробные уравнения - номер 259, страница 98.

Условие.

Решите уравнение (№ 258-261):

259 а) $\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$

б) $\frac{6}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x - 3}{x^2 - 2x}$

В) $\frac{x - 1}{x} - \frac{1}{x - 6} = \frac{6}{6x - x^2}$

Г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x - 20}{5x - x^2}$

Решение.

Решение 2.

а) Решим уравнение $\frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$. Также знаменатель правой части $x^2 + 2x = x(x+2)$ не должен быть равен нулю. Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Наименьший общий знаменатель для дробей в уравнении — это $x(x+2)$. Умножим обе части уравнения на $x(x+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$\frac{6 \cdot x(x+2)}{x} + \frac{(x+3) \cdot x(x+2)}{x+2} = \frac{(4x+6) \cdot x(x+2)}{x(x+2)}$

$6(x+2) + x(x+3) = 4x+6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6x + 12 + x^2 + 3x = 4x+6$

$x^2 + 9x + 12 = 4x+6$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 + 9x - 4x + 12 - 6 = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -2$). Корень $x_1 = -2$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

---

б) Решим уравнение $\frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq 0$. Знаменатель правой части $x^2-2x = x(x-2)$ также не равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Наименьший общий знаменатель равен $x(x-2)$. Умножим обе части уравнения на $x(x-2)$:

$\frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} + \frac{2 \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x-3) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$

$6x + 2(x-2) = x-3$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$6x + 2x - 4 = x-3$

$8x - 4 = x-3$

$8x - x = 4 - 3$

$7x = 1$

$x = \frac{1}{7}$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$). Корень $x = \frac{1}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

---

в) Решим уравнение $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2}$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $6x - x^2 = -x(x-6)$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{-x(x-6)}$

$\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = -\frac{6}{x(x-6)}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

Наименьший общий знаменатель равен $x(x-6)$. Умножим обе части на него:

$(x-1)(x-6) - 1 \cdot x = -6$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 6x - x + 6 - x = -6$

$x^2 - 8x + 6 = -6$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 6$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 6$ не входит в ОДЗ, это посторонний корень.

Ответ: 2.

---

г) Решим уравнение $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2}$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $5x - x^2 = -x(x-5)$. Уравнение примет вид:

$\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{-x(x-5)}$

$\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = -\frac{x-20}{x(x-5)}$

$\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{20-x}{x(x-5)}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Умножим обе части на общий знаменатель $x(x-5)$:

$4(x-5) + 3x = 20-x$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4x - 20 + 3x = 20-x$

$7x - 20 = 20-x$

$7x + x = 20 + 20$

$8x = 40$

$x = 5$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 5$). Корень $x=5$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: корней нет.