Номер 243, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 243, страница 95.

243 Определите, пересекает ли график функции $y = f(x)$ ось $x$, и если да, то в каких точках. Изобразите схематически график из задания (а).

а) $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9;$

б) $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3;$

в) $f(x) = x^4 - 20x^2 + 100.$

а) f(x) = x⁴ - 10x² + 9

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось $Ox$, необходимо найти корни уравнения $f(x) = 0$.

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Произведем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $t = 1$:
$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$

2. При $t = 9$:
$x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$

Таким образом, график функции пересекает ось $Ox$ в четырех точках.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Изобразим схематически график из задания (а).

Для построения схематического графика найдем и отметим ключевые точки и свойства функции. Точки пересечения с осью Ox: как найдено ранее, это $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Пересечение с осью Oy: $f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$, следовательно, точка пересечения $(0, 9)$. Симметрия: так как $f(-x) = (-x)^4 - 10(-x)^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9 = f(x)$, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси $Oy$. Точки экстремума: найдем производную $f'(x) = 4x^3 - 20x = 4x(x^2 - 5)$. Критические точки (где $f'(x)=0$) — это $x=0$ и $x=\pm\sqrt{5}$. В точке $x=0$ находится локальный максимум $(0, 9)$. В точках $x=\pm\sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$) находятся локальные минимумы. Значение функции в этих точках: $f(\pm\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$. Точки минимума: $(-\sqrt{5}, -16)$ и $(\sqrt{5}, -16)$. Поведение на бесконечности: при $x \to \pm\infty$, старший член $x^4$ определяет поведение, поэтому $f(x) \to +\infty$.

Описание схемы графика: График имеет форму, напоминающую букву 'W'. Он приходит из $+\infty$, опускается, пересекая ось $Ox$ в точке $x=-3$, достигает минимума в точке $(-\sqrt{5}, -16)$, затем поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $x=-1$ и достигает локального максимума на оси $Oy$ в точке $(0, 9)$. Далее, симметрично, график опускается, пересекает ось $Ox$ в $x=1$, достигает второго минимума в $(\sqrt{5}, -16)$, пересекает ось $Ox$ в $x=3$ и уходит вверх в $+\infty$.

б) f(x) = x⁴ + 4x² + 3

Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

$x^4 + 4x^2 + 3 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1+t_2 = -4$ и $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Альтернативно, можно заметить, что для любого действительного $x$, слагаемые $x^4 \ge 0$ и $4x^2 \ge 0$. Тогда значение функции $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Минимальное значение функции равно 3 (при $x=0$), поэтому она никогда не может быть равна нулю.

Ответ: График не пересекает ось $Ox$.

в) f(x) = x⁴ - 20x² + 100

Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x^2$ и $b = 10$.

$(x^2 - 10)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$x^2 - 10 = 0$

$x^2 = 10$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{10}$

Уравнение имеет два действительных корня. В этих точках график касается оси $Ox$, так как они являются корнями четной кратности (кратность 2 для $x^2=10$). Касание является частным случаем пересечения.

Ответ: График пересекает (касается) ось $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$.