Номер 237, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 237, страница 94.

237 1) Убедитесь, что все данные уравнения равносильны:

$5x(x + 1)(x - 2) = 0$, $x(x + 1)^2(x - 2) = 0$, $x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$.

2) Составьте несколько равносильных уравнений, корнями которых являются числа:

а) 0; -3; 4;

б) 0; -1; -2; 3.

1)

Два или более уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Чтобы убедиться, что данные уравнения равносильны, найдем корни каждого из них.

Рассмотрим первое уравнение: $5x(x + 1)(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Множитель $5 \neq 0$. Остальные множители дают следующие корни:
$x = 0$;
$x + 1 = 0 \implies x = -1$;
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Таким образом, множество корней первого уравнения: $\{-1, 0, 2\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x(x + 1)^2(x - 2) = 0$.
Приравнивая множители к нулю, получаем:
$x = 0$;
$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$;
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Множество корней второго уравнения также: $\{-1, 0, 2\}$.

Рассмотрим третье уравнение: $x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$.
Приравнивая множители к нулю, получаем:
$x = 0$;
$x + 1 = 0 \implies x = -1$;
$2 - x = 0 \implies x = 2$;
$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, множество действительных корней третьего уравнения: $\{-1, 0, 2\}$.

Так как множества корней всех трех уравнений совпадают, то данные уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, уравнения равносильны, так как множество корней каждого из них — это $\{-1; 0; 2\}$.

2)

Чтобы составить уравнение с заданными корнями, нужно произведение множителей, обращающихся в ноль при этих корнях, приравнять к нулю. Равносильные уравнения можно получить, умножив всё уравнение на число, не равное нулю, возведя множители в степень или добавив множители, не имеющие действительных корней.

а) Корнями являются числа: $0; -3; 4$.

Для корней $0, -3, 4$ соответствующими множителями будут $x$, $(x - (-3))$ (то есть $x+3$) и $(x-4)$.

Ответ: Например: $x(x + 3)(x - 4) = 0$; $10x(x + 3)(x - 4) = 0$; $x^2(x + 3)(x - 4) = 0$.

б) Корнями являются числа: $0; -1; -2; 3$.

Для корней $0, -1, -2, 3$ соответствующими множителями будут $x$, $(x+1)$, $(x+2)$ и $(x-3)$.

Ответ: Например: $x(x + 1)(x + 2)(x - 3) = 0$; $-2x(x + 1)(x + 2)(x - 3) = 0$; $x(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x^2+5) = 0$.