Номер 223, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 223, страница 90.

Докажите тождество (№ 223–225):

223 a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2;$

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2.$

а)

Для доказательства тождества $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2$ преобразуем его левую часть. Переставим слагаемые, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:

$(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

В нашем случае примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$. Применим формулу к левой части тождества:

$((x + y) - (x - y))^2$

Теперь раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x + y - x + y)^2 = (2y)^2$

Возводим в квадрат и получаем конечный результат:

$4y^2$

Таким образом, левая часть тождества равна $4y^2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2$ преобразуем его левую часть. Перегруппируем слагаемые для удобства:

$(x + y)^2 + 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$. Применим формулу к левой части тождества:

$((x + y) + (x - y))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x + y + x - y)^2 = (2x)^2$

Возводим в квадрат и получаем конечный результат:

$4x^2$

Таким образом, левая часть тождества равна $4x^2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.