Номер 197, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 197, страница 85.

197 Дано выражение и указано несколько значений переменной. Все ли они являются допустимыми? Для каждого допустимого значения переменной вычислите соответствующее значение данного выражения:

a) $ \frac{3x - 1}{x} $; $ x = -1; 0; \frac{1}{3}; 3; $

б) $ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} $; $ x = -1; 0; \frac{1}{2}; 1; $

в) $ \frac{x}{x^2 - 1} $; $ x = -2; -1; 0; 1; $

г) $ \frac{x^2 + 3}{x^2 + 9} $; $ x = -3; -1; 0; 3. $

а) Для выражения $\frac{3x - 1}{x}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.
Из предложенных значений $x = -1; 0; \frac{1}{3}; 3$, значение $x=0$ является недопустимым, так как приводит к делению на ноль.
Остальные значения являются допустимыми. Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -1$, то $\frac{3(-1) - 1}{-1} = \frac{-3 - 1}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$.
Если $x = \frac{1}{3}$, то $\frac{3 \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{1}{3}} = 0$.
Если $x = 3$, то $\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: Не все значения являются допустимыми; $x=0$ – недопустимое значение. Для допустимых значений: при $x=-1$ выражение равно 4; при $x=\frac{1}{3}$ – 0; при $x=3$ – $\frac{8}{3}$.

б) Для выражения $\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3}$, знаменатели являются числами (2 и 3) и не содержат переменную. Деления на ноль произойти не может. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Все предложенные значения $x = -1; 0; \frac{1}{2}; 1$ являются допустимыми.
Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -1$, то $\frac{(-1)^2}{2} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0^2}{2} - \frac{0}{3} = 0 - 0 = 0$.
Если $x = \frac{1}{2}$, то $\frac{(\frac{1}{2})^2}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{8} - \frac{1}{6} = \frac{3}{24} - \frac{4}{24} = -\frac{1}{24}$.
Если $x = 1$, то $\frac{1^2}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: Все значения являются допустимыми. При $x=-1$ выражение равно $\frac{5}{6}$; при $x=0$ – 0; при $x=\frac{1}{2}$ – $-\frac{1}{24}$; при $x=1$ – $\frac{1}{6}$.

в) Для выражения $\frac{x}{x^2 - 1}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель $x^2 - 1$ в ноль.
Решим уравнение $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$.
Из предложенных значений $x = -2; -1; 0; 1$, значения $x=-1$ и $x=1$ являются недопустимыми.
Остальные значения $x=-2$ и $x=0$ являются допустимыми. Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -2$, то $\frac{-2}{(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{4 - 1} = -\frac{2}{3}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0}{0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: Не все значения являются допустимыми; $x=-1$ и $x=1$ – недопустимые значения. Для допустимых значений: при $x=-2$ выражение равно $-\frac{2}{3}$; при $x=0$ – 0.

г) Для выражения $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 9}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель $x^2 + 9$ в ноль.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$). Поэтому знаменатель $x^2 + 9$ всегда будет больше или равен 9, и никогда не будет равен нулю.
Следовательно, все предложенные значения $x = -3; -1; 0; 3$ являются допустимыми.
Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -3$, то $\frac{(-3)^2 + 3}{(-3)^2 + 9} = \frac{9 + 3}{9 + 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Если $x = -1$, то $\frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 9} = \frac{1 + 3}{1 + 9} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0^2 + 3}{0^2 + 9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Если $x = 3$, то $\frac{3^2 + 3}{3^2 + 9} = \frac{9 + 3}{9 + 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Все значения являются допустимыми. При $x=-3$ выражение равно $\frac{2}{3}$; при $x=-1$ – $\frac{2}{5}$; при $x=0$ – $\frac{1}{3}$; при $x=3$ – $\frac{2}{3}$.