Номер 8, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 2. Квадратичная функция - номер 8, страница 80.

8. Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 2x + 3;$

б) $y = -x^2 + x - 1.$

В каждом случае опишите свойства функции.

а) $y = x^2 - 2x + 3$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$.

Построение графика:

1. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
   $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
   $y_v = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
   Координаты вершины: $(1, 2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.
3. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
   Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось Ox.
4. Для более точного построения найдём несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=1$.
   Точка $(0, 3)$ находится на расстоянии 1 от оси симметрии. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x=2$. Ордината будет та же: $y=3$. Точка $(2, 3)$.
   Возьмём $x=-1$: $y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$. Точка $(-1, 6)$.
   Симметричная ей точка будет $x=3$, $y=6$. Точка $(3, 6)$.
5. Отметим на координатной плоскости вершину $(1, 2)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(-1, 6)$, $(3, 6)$ и соединим их плавной кривой.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1$. Минимальное значение функции $y_{min} = 2$.
• Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Функция положительна на всей области определения, убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$. Минимальное значение функции равно 2.

б) $y = -x^2 + x - 1$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$, $c = -1$.

Построение графика:

1. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
   $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
   $y_v = -(0.5)^2 + 0.5 - 1 = -0.25 + 0.5 - 1 = -0.75$.
   Координаты вершины: $(0.5, -0.75)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.
3. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -0^2 + 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + x - 1 = 0$ или $x^2 - x + 1 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
   Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось Ox.
4. Найдём несколько дополнительных точек, используя симметрию относительно оси $x=0.5$.
   Точка $(0, -1)$ симметрична точке $(1, -1)$.
   Возьмём $x=2$: $y = -(2)^2 + 2 - 1 = -4 + 2 - 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.
   Симметричная ей точка будет при $x = 0.5 - (2-0.5) = -1$, $y=-3$. Точка $(-1, -3)$.
5. Отметим на координатной плоскости вершину $(0.5, -0.75)$ и точки $(0, -1)$, $(1, -1)$, $(2, -3)$, $(-1, -3)$ и соединим их плавной кривой.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; -0.75]$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и убывает на промежутке $[0.5; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 0.5$. Максимальное значение функции $y_{max} = -0.75$.
• Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y = -x^2 + x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0.5, -0.75)$ и ветвями, направленными вниз. Функция отрицательна на всей области определения, возрастает на $(-\infty; 0.5]$ и убывает на $[0.5; +\infty)$. Максимальное значение функции равно -0.75.