Номер 3, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 79.

3 Изобразите схематически в одной координатной плоскости графики функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$. Опишите свойства функции $g(x)$. График какой из функций пересекает прямую $y = -400$? Укажите координаты точек пересечения.

Схематическое изображение графиков функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$

Обе функции, $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$, являются квадратичными. Их графики — это параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
- График функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{4} > 0$).
- График функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{4} < 0$).
График $g(x)$ является зеркальным отражением графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox). Обе параболы симметричны относительно оси ординат (Oy). Схематически это две параболы, выходящие из точки $(0,0)$, одна из которых открывается вверх ($f(x)$), а другая — вниз ($g(x)$).

Ответ: График $f(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. График $g(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вниз, симметричная графику $f(x)$ относительно оси Ox.

Свойства функции g(x)

Основные свойства функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:
1. Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
2. Область значений: $E(g) = (-\infty; 0]$ (все неположительные числа).
3. Четность: функция является четной, так как $g(-x) = -\frac{1}{4}(-x)^2 = -\frac{1}{4}x^2 = g(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Нули функции: $g(x) = 0$ при $x=0$. Точка пересечения с осями — $(0, 0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $g(x) < 0$ при всех $x \neq 0$.
6. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
7. Экстремумы: функция имеет точку максимума в своей вершине. Максимальное значение $y_{max} = 0$ достигается при $x=0$.

Ответ: Свойства функции $g(x)$: область определения $D(g)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(g)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$, имеет максимум $y=0$ при $x=0$.

График какой из функций пересекает прямую y = -400? Укажите координаты точек пересечения.

Необходимо определить, какой из графиков пересекает горизонтальную прямую $y = -400$.
- Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ область значений $E(f) = [0; +\infty)$. Так как $-400 \notin [0; +\infty)$, пересечения с прямой $y = -400$ нет.
- Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ область значений $E(g) = (-\infty; 0]$. Так как $-400 \in (-\infty; 0]$, график этой функции пересекает прямую $y = -400$.

Для нахождения координат точек пересечения решим уравнение $g(x) = -400$: $$-\frac{1}{4}x^2 = -400$$ Умножим обе части уравнения на $-4$: $$x^2 = 1600$$ Извлечем квадратный корень: $$x = \pm\sqrt{1600}$$ $$x_1 = 40, \quad x_2 = -40$$ Получаем две точки пересечения, у которых ордината $y = -400$. Координаты этих точек: $(40, -400)$ и $(-40, -400)$.

Ответ: Прямую $y = -400$ пересекает график функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$. Координаты точек пересечения: $(-40, -400)$ и $(40, -400)$.