Номер 6, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 6, страница 75.

6 Найдите асимптоты графика функции и изобразите этот график схематически:

а) $y = \frac{6x}{2x + 1}$

б) $y = \frac{x + 3}{4 - 2x}$

в) $y = \frac{3x - 5}{2x + 8}$

а) $y = \frac{6x}{2x+1}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота существует в точке, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
При $x = -0.5$ числитель равен $6 \cdot (-0.5) = -3 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -0.5$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{6}{2} = 3$.
Следовательно, прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{6 \cdot 0}{2 \cdot 0 + 1} = 0$. Точка $(0,0)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{6x}{2x+1} = 0 \implies 6x=0 \implies x=0$. Точка $(0,0)$.
График проходит через начало координат.
Начертим асимптоты $x = -0.5$ и $y = 3$. Они пересекаются в точке $(-0.5, 3)$.
Так как точка $(0,0)$ находится правее вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной, одна ветвь гиперболы расположена в правой нижней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь, соответственно, будет в левой верхней четверти. Например, при $x=-1$, $y = \frac{6(-1)}{2(-1)+1} = \frac{-6}{-1} = 6$, что выше горизонтальной асимптоты $y=3$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -0.5$, горизонтальная асимптота: $y = 3$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-0.5, 3)$, проходящая через начало координат.

б) $y = \frac{x+3}{4-2x}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота: приравняем знаменатель к нулю.
$4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
При $x = 2$ числитель равен $2 + 3 = 5 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: вычислим предел при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{4-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{4}{x} - 2} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
Следовательно, прямая $y = -0.5$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{0+3}{4-0} = \frac{3}{4} = 0.75$. Точка $(0, 0.75)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{x+3}{4-2x} = 0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Точка $(-3, 0)$.
Начертим асимптоты $x = 2$ и $y = -0.5$. Они пересекаются в точке $(2, -0.5)$.
Точки $(0, 0.75)$ и $(-3, 0)$ находятся левее вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Значит, одна ветвь гиперболы расположена в левой верхней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь будет в правой нижней четверти. Например, при $x=3$, $y=\frac{3+3}{4-2(3)} = \frac{6}{-2}=-3$, что ниже горизонтальной асимптоты $y=-0.5$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 2$, горизонтальная асимптота: $y = -0.5$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(2, -0.5)$, пересекающая оси в точках $(-3, 0)$ и $(0, 0.75)$.

в) $y = \frac{3x-5}{2x+8}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота: приравняем знаменатель к нулю.
$2x + 8 = 0 \implies 2x = -8 \implies x = -4$.
При $x = -4$ числитель равен $3(-4) - 5 = -12 - 5 = -17 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -4$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: вычислим предел при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{3x-5}{2x+8} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{8}{x}} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Следовательно, прямая $y = 1.5$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{3(0)-5}{2(0)+8} = \frac{-5}{8} = -0.625$. Точка $(0, -0.625)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{3x-5}{2x+8} = 0 \implies 3x-5=0 \implies x=\frac{5}{3} \approx 1.67$. Точка $(\frac{5}{3}, 0)$.
Начертим асимптоты $x = -4$ и $y = 1.5$. Они пересекаются в точке $(-4, 1.5)$.
Точки $(0, -0.625)$ и $(\frac{5}{3}, 0)$ находятся правее вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Значит, одна ветвь гиперболы расположена в правой нижней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь будет в левой верхней четверти. Например, при $x=-5$, $y=\frac{3(-5)-5}{2(-5)+8} = \frac{-20}{-2}=10$, что выше горизонтальной асимптоты $y=1.5$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -4$, горизонтальная асимптота: $y = 1.5$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-4, 1.5)$, пересекающая оси в точках $(\frac{5}{3}, 0)$ и $(0, -0.625)$.