Номер 1, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 1, страница 73.

1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{1}{x} - 3$;

б) $y = -\frac{2}{x} + 4$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, если

а) $k > 0, q > 0$;

б) $k > 0, q < 0$;

в) $k < 0, q > 0$;

г) $k < 0, q < 0$.

1) а) $y = \frac{1}{x} - 3$

График функции $y = \frac{1}{x} - 3$ является гиперболой. Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где $k=1$ и $q=-3$.

Асимптоты:
1. Вертикальная асимптота. Она проходит через значение $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль. В данном случае это $x=0$ (ось Oy).
2. Горизонтальная асимптота. Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), член $\frac{1}{x}$ стремится к нулю, и $y$ стремится к $q$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$.

Построение графика по точкам:
График получается смещением графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Так как $k=1 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно нового центра, образованного асимптотами $(0; -3)$.

Составим таблицу значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y = \frac{1}{x} - 3$	-3.5	-4	-5	-1	-2	-2.5

График функции:

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График — гипербола, представленная на рисунке выше.

---

1) б) $y = -\frac{2}{x} + 4$

График функции $y = -\frac{2}{x} + 4$ является гиперболой. Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где $k=-2$ и $q=4$.

Асимптоты:
1. Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
2. Горизонтальная асимптота: $y=q$, т.е. $y=4$.

Построение графика по точкам:
График получается из графика $y = -\frac{2}{x}$ смещением на 4 единицы вверх по оси Oy. Так как $k=-2 < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях относительно нового центра $(0; 4)$.

Составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y = -\frac{2}{x} + 4$	4.5	5	6	2	3	3.5

График функции:

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$. График — гипербола, представленная на рисунке выше.

---

2) Гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) и горизонтальную асимптоту $y=q$. Положение ветвей гиперболы относительно асимптот зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях (справа вверху и слева внизу) относительно точки пересечения асимптот.
• Если $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях (слева вверху и справа внизу) относительно точки пересечения асимптот.

Знак $q$ определяет положение горизонтальной асимптоты $y=q$ относительно оси Ox:

• Если $q > 0$, асимптота $y=q$ находится выше оси Ox.
• Если $q < 0$, асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox.

а) $k > 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится выше оси Ox. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

б) $k > 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

в) $k < 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится выше оси Ox. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

г) $k < 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.