Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{1}{x} - 3$;

б) $y = -\frac{2}{x} + 4$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, если

а) $k > 0, q > 0$;

б) $k > 0, q < 0$;

в) $k < 0, q > 0$;

г) $k < 0, q < 0$.

1) а) $y = \frac{1}{x} - 3$

График функции $y = \frac{1}{x} - 3$ является гиперболой. Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где $k=1$ и $q=-3$.

Асимптоты:
1. Вертикальная асимптота. Она проходит через значение $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль. В данном случае это $x=0$ (ось Oy).
2. Горизонтальная асимптота. Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), член $\frac{1}{x}$ стремится к нулю, и $y$ стремится к $q$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$.

Построение графика по точкам:
График получается смещением графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Так как $k=1 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно нового центра, образованного асимптотами $(0; -3)$.

Составим таблицу значений:

График функции:

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График — гипербола, представленная на рисунке выше.

1) б) $y = -\frac{2}{x} + 4$

График функции $y = -\frac{2}{x} + 4$ является гиперболой. Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где $k=-2$ и $q=4$.

Асимптоты:
1. Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
2. Горизонтальная асимптота: $y=q$, т.е. $y=4$.

Построение графика по точкам:
График получается из графика $y = -\frac{2}{x}$ смещением на 4 единицы вверх по оси Oy. Так как $k=-2 < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях относительно нового центра $(0; 4)$.

Составим таблицу значений:

График функции:

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$. График — гипербола, представленная на рисунке выше.

2) Гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) и горизонтальную асимптоту $y=q$. Положение ветвей гиперболы относительно асимптот зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях (справа вверху и слева внизу) относительно точки пересечения асимптот.
• Если $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях (слева вверху и справа внизу) относительно точки пересечения асимптот.

Знак $q$ определяет положение горизонтальной асимптоты $y=q$ относительно оси Ox:

• Если $q > 0$, асимптота $y=q$ находится выше оси Ox.
• Если $q < 0$, асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox.

а) $k > 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится выше оси Ox. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

б) $k > 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

в) $k < 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится выше оси Ox. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

г) $k < 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ находится ниже оси Ox. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

2 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x + 3}$;

б) $y = -\frac{1}{x - 4}$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x + p}$, если

а) $k > 0, p > 0$;

б) $k > 0, p < 0$;

в) $k < 0, p > 0$;

г) $k < 0, p < 0$.

1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x + 3}$

1. Нахождение асимптот.
График функции является гиперболой. Для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ вертикальной асимптотой является прямая $x=a$, а горизонтальной — прямая $y=b$.
В нашем случае функция $y = \frac{2}{x + 3}$ может быть записана как $y = \frac{2}{x - (-3)} + 0$.
Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю: $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$.
Горизонтальная асимптота находится как предел функции при $x \to \pm\infty$. В этом случае значение дроби $\frac{2}{x+3}$ стремится к 0. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=0$ (ось Ox).

2. Построение графика по точкам.
Составим таблицу значений функции для нескольких точек, расположенных по обе стороны от вертикальной асимптоты:

• При $x=-5$, $y=\frac{2}{-5+3}=-1$. Точка (-5, -1).
• При $x=-4$, $y=\frac{2}{-4+3}=-2$. Точка (-4, -2).
• При $x=-2$, $y=\frac{2}{-2+3}=2$. Точка (-2, 2).
• При $x=-1$, $y=\frac{2}{-1+3}=1$. Точка (-1, 1).

График функции — это гипербола $y = \frac{2}{x}$, смещенная на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -3$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График представлен на рисунке выше.

б) $y = -\frac{1}{x - 4}$

1. Нахождение асимптот.
Функция $y = -\frac{1}{x - 4}$ является гиперболой.
Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.
Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Таким образом, $y=0$.

2. Построение графика по точкам.
Составим таблицу значений функции:

• При $x=2$, $y=-\frac{1}{2-4}=0.5$. Точка (2, 0.5).
• При $x=3$, $y=-\frac{1}{3-4}=1$. Точка (3, 1).
• При $x=5$, $y=-\frac{1}{5-4}=-1$. Точка (5, -1).
• При $x=6$, $y=-\frac{1}{6-4}=-0.5$. Точка (6, -0.5).

График функции — это гипербола $y = -\frac{1}{x}$, смещенная на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График представлен на рисунке выше.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x + p}$, если

Общий анализ: график функции $y = \frac{k}{x+p}$ — это гипербола $y=\frac{k}{x}$, смещенная по оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=-p$. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Положение ветвей зависит от знака коэффициента $k$: если $k>0$, ветви находятся в I и III четвертях относительно асимптот; если $k<0$ — во II и IV.

а) $k > 0, p > 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p > 0$, то $-p < 0$, значит, асимптота находится левее оси Oy. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ слева от оси Oy, ветви в 1-й и 3-й "четвертях".

б) $k > 0, p < 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p < 0$, то $-p > 0$, значит, асимптота находится правее оси Oy. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ справа от оси Oy, ветви в 1-й и 3-й "четвертях".

в) $k < 0, p > 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p > 0$, то $-p < 0$, значит, асимптота находится левее оси Oy. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ слева от оси Oy, ветви во 2-й и 4-й "четвертях".

г) $k < 0, p < 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p < 0$, то $-p > 0$, значит, асимптота находится правее оси Oy. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ справа от оси Oy, ветви во 2-й и 4-й "четвертях".

3 Постройте в координатной плоскости асимптоты графика заданной функции и изобразите этот график схематически.

а) $y = \frac{1}{x+3} - 2;$

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6;$

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4;$

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2.$

В каждом случае найдите координаты точек пересечения графика с осью x и осью y и отметьте эти точки на рисунке.

а) Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x+3} - 2$.

1. Асимптоты.
График функции — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x+3=0$, откуда $x=-3$.
Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$. В этом случае дробь $\frac{1}{x+3} \to 0$, поэтому $y \to -2$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{1}{x+3} - 2 \implies 2 = \frac{1}{x+3} \implies 2(x+3) = 1 \implies 2x+6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-2.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = \frac{1}{0+3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5/3)$.

3. Схематический график.
Строим в координатной плоскости асимптоты $x=-3$ и $y=-2$. Поскольку коэффициент $k=1$ (в выражении $\frac{k}{x-a}+b$) положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей "четвертях" относительно системы координат, образованной асимптотами. Отмечаем найденные точки пересечения с осями.

Ответ: Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$. Точка пересечения с осью Ox: $(-2.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5/3)$.

б) Рассматриваем функцию $y = -\frac{3}{x+4} + 6$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$.
Горизонтальная асимптота: $y=6$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = -\frac{3}{x+4} + 6 \implies \frac{3}{x+4} = 6 \implies 3 = 6(x+4) \implies 3 = 6x+24 \implies 6x = -21 \implies x = -3.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-3.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -\frac{3}{0+4} + 6 = -\frac{3}{4} + 6 = \frac{21}{4} = 5.25$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 21/4)$.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=-4$ и $y=6$. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой "четвертях" относительно новой системы координат. Отмечаем точки пересечения $(-3.5, 0)$ и $(0, 5.25)$.

Ответ: Асимптоты: $x=-4$, $y=6$. Точка пересечения с осью Ox: $(-3.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 21/4)$.

в) Рассматриваем функцию $y = \frac{2}{x-1} - 4$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{2}{x-1} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x-1} \implies 4(x-1) = 2 \implies 4x-4 = 2 \implies 4x = 6 \implies x = 1.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = \frac{2}{0-1} - 4 = -2 - 4 = -6$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=1$ и $y=-4$. Коэффициент $k=2$ положителен, поэтому ветви гиперболы располагаются в первой и третьей "четвертях" относительно асимптот. Отмечаем точки пересечения $(1.5, 0)$ и $(0, -6)$.

Ответ: Асимптоты: $x=1$, $y=-4$. Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

г) Рассматриваем функцию $y = -\frac{6}{x-3} - 2$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = -\frac{6}{x-3} - 2 \implies 2 = -\frac{6}{x-3} \implies 2(x-3) = -6 \implies 2x-6 = -6 \implies 2x=0 \implies x=0$.
Точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -\frac{6}{0-3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2-2=0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. График проходит через начало координат.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=3$ и $y=-2$. Коэффициент $k=-6$ отрицателен, поэтому ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой "четвертях" относительно асимптот. Отмечаем точку $(0, 0)$.

Ответ: Асимптоты: $x=3$, $y=-2$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.