Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Дана функция $y = x^2 + 3x + 2$.

1) Найдите значение функции при $x = -2$.

2) При каких значениях $x$ функция принимает значение, равное 6?

3) Найдите нули функции.

1) Найдите значение функции при x = -2.

Чтобы найти значение функции $y = x^2 + 3x + 2$ при $x = -2$, необходимо подставить это значение $x$ в уравнение функции:

$y(-2) = (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2$

Выполним вычисления:

$y(-2) = 4 - 6 + 2$

$y(-2) = 0$

Ответ: 0.

2) При каких значениях x функция принимает значение, равное 6?

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значение, равное 6, нужно решить уравнение $y = 6$:

$x^2 + 3x + 2 = 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x + 2 - 6 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: при $x = 1$ и $x = -4$.

3) Найдите нули функции.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения нужно решить уравнение $y = 0$:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его также через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, у уравнения два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: нули функции: $x = -1$ и $x = -2$.

3 Изобразите схематически в одной координатной плоскости графики функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$. Опишите свойства функции $g(x)$. График какой из функций пересекает прямую $y = -400$? Укажите координаты точек пересечения.

Схематическое изображение графиков функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$

Обе функции, $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$, являются квадратичными. Их графики — это параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
- График функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{4} > 0$).
- График функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{4} < 0$).
График $g(x)$ является зеркальным отражением графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox). Обе параболы симметричны относительно оси ординат (Oy). Схематически это две параболы, выходящие из точки $(0,0)$, одна из которых открывается вверх ($f(x)$), а другая — вниз ($g(x)$).

Ответ: График $f(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. График $g(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вниз, симметричная графику $f(x)$ относительно оси Ox.

Свойства функции g(x)

Основные свойства функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:
1. Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
2. Область значений: $E(g) = (-\infty; 0]$ (все неположительные числа).
3. Четность: функция является четной, так как $g(-x) = -\frac{1}{4}(-x)^2 = -\frac{1}{4}x^2 = g(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Нули функции: $g(x) = 0$ при $x=0$. Точка пересечения с осями — $(0, 0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $g(x) < 0$ при всех $x \neq 0$.
6. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
7. Экстремумы: функция имеет точку максимума в своей вершине. Максимальное значение $y_{max} = 0$ достигается при $x=0$.

Ответ: Свойства функции $g(x)$: область определения $D(g)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(g)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$, имеет максимум $y=0$ при $x=0$.

График какой из функций пересекает прямую y = -400? Укажите координаты точек пересечения.

Необходимо определить, какой из графиков пересекает горизонтальную прямую $y = -400$.
- Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ область значений $E(f) = [0; +\infty)$. Так как $-400 \notin [0; +\infty)$, пересечения с прямой $y = -400$ нет.
- Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ область значений $E(g) = (-\infty; 0]$. Так как $-400 \in (-\infty; 0]$, график этой функции пересекает прямую $y = -400$.

Для нахождения координат точек пересечения решим уравнение $g(x) = -400$: $$-\frac{1}{4}x^2 = -400$$ Умножим обе части уравнения на $-4$: $$x^2 = 1600$$ Извлечем квадратный корень: $$x = \pm\sqrt{1600}$$ $$x_1 = 40, \quad x_2 = -40$$ Получаем две точки пересечения, у которых ордината $y = -400$. Координаты этих точек: $(40, -400)$ и $(-40, -400)$.

Ответ: Прямую $y = -400$ пересекает график функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$. Координаты точек пересечения: $(-40, -400)$ и $(40, -400)$.

4. Укажите координаты вершины параболы:

а) $y = -x^2$;

б) $y = 2x^2 - 1$;

в) $y = 3(x + 2)^2$;

г) $y = 0.5(x - 1)^2 + 4$.

Для нахождения координат вершины параболы удобно использовать её уравнение в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это и есть искомые координаты вершины. Приведем каждое из данных уравнений к этому виду.

а) Дано уравнение параболы $y = -x^2$.
Его можно переписать в виде $y = -1 \cdot (x - 0)^2 + 0$.
Сравнивая это уравнение с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, мы видим, что $h = 0$ и $k = 0$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$.

б) Дано уравнение параболы $y = 2x^2 - 1$.
Перепишем его в виде $y = 2(x - 0)^2 - 1$.
В данном случае, сравнивая с общей формой, получаем $h = 0$ и $k = -1$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, -1)$.
Ответ: $(0, -1)$.

в) Дано уравнение параболы $y = 3(x + 2)^2$.
Перепишем его в виде $y = 3(x - (-2))^2 + 0$, чтобы оно соответствовало форме $y = a(x - h)^2 + k$.
Отсюда видно, что $h = -2$ и $k = 0$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(-2, 0)$.
Ответ: $(-2, 0)$.

г) Дано уравнение параболы $y = 0.5(x - 1)^2 + 4$.
Это уравнение уже представлено в нужном виде $y = a(x - h)^2 + k$.
Сравнивая с общей формой, сразу определяем, что $h = 1$ и $k = 4$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(1, 4)$.
Ответ: $(1, 4)$.

5. Из какой параболы и какими преобразованиями может быть получена парабола $y = -0,5(x - 1)^2 + 2$. Сделайте схематический рисунок.

Получение параболы и необходимые преобразования

Заданная парабола $y = -0.5(x - 1)^2 + 2$ является преобразованной версией основной параболы $y = x^2$. Для получения графика заданной функции из графика $y = x^2$ необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Сжатие и отражение: Сначала график $y = x^2$ сжимается вдоль оси ординат (оси Y) с коэффициентом 0,5 (в 2 раза), что дает параболу $y = 0.5x^2$. Затем он отражается симметрично относительно оси абсцисс (оси X), в результате чего ветви параболы направляются вниз. Уравнение становится $y = -0.5x^2$.
2. Горизонтальный сдвиг: Затем график сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси X. Это преобразование соответствует замене $x$ на $(x-1)$ в уравнении, что дает $y = -0.5(x - 1)^2$.
3. Вертикальный сдвиг: Наконец, график сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Y. Это соответствует добавлению 2 к функции, что приводит к итоговому уравнению $y = -0.5(x - 1)^2 + 2$.

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. В результате сдвигов вершина итоговой параболы перемещается в точку $(1, 2)$.

Ответ: Парабола $y = -0.5(x - 1)^2 + 2$ получена из параболы $y = x^2$ путем сжатия по оси Y в 2 раза, отражения относительно оси X, сдвига на 1 единицу вправо и сдвига на 2 единицы вверх.

Схематический рисунок

На рисунке показаны исходная парабола $y = x^2$ (пунктирная серая линия) и итоговая парабола $y = -0.5(x - 1)^2 + 2$ (сплошная синяя линия).

Ответ: Схематический рисунок, иллюстрирующий получение параболы $y=-0.5(x-1)^2+2$ из параболы $y=x^2$, представлен выше.

6 Постройте график функции: а) $y = (x - 2)^2 - 1$; б) $y = -(x + 2)^2 + 4$.

В каждом случае укажите:

1) наименьшее (или наибольшее) значение функции;

2) промежуток, на котором функция возрастает (убывает).