Страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{3 - x}{x - 1}$;

в) $y = \frac{x + 1}{x + 2}$.

Совет. В качестве образца воспользуйтесь примером 4, разобранным в тексте.

а)

Для построения графика функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ преобразуем данное выражение, выделив целую часть. Это позволит нам увидеть, как график базовой функции $y = \frac{k}{x}$ смещается.

$y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2)+2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.

Таким образом, мы получили функцию вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$, где $k=2$, $x_0 = -2$, $y_0 = 1$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы влево (вдоль оси Ox) и на 1 единицу вверх (вдоль оси Oy).

1. Находим асимптоты. Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x+2 = 0 \implies x = -2$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

2. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра — точки пересечения асимптот $(-2; 1)$.

3. Найдём несколько точек для более точного построения графика.

Точка пересечения с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.

Точка пересечения с осью Ox (полагаем $y=0$): $0 = \frac{x+4}{x+2} \implies x+4 = 0 \implies x = -4$. Получаем точку $(-4; 0)$.

Возьмём ещё несколько точек для точности:

Если $x = -1$, то $y = \frac{-1+4}{-1+2} = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Если $x = -3$, то $y = \frac{-3+4}{-3+2} = -1$. Точка $(-3; -1)$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=-2$ и $y=1$, затем отмечаем найденные точки и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(-4; 0)$, $(-3; -1)$, $(0; 2)$.

б)

Для построения графика функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{3-x}{x-1} = \frac{-(x-3)}{x-1} = \frac{-(x-1-2)}{x-1} = \frac{-(x-1) + 2}{x-1} = -\frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = -1 + \frac{2}{x-1}$.

Мы получили функцию $y = \frac{2}{x-1} - 1$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ смещением на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

1. Асимптоты графика: вертикальная $x = 1$ (знаменатель равен нулю) и горизонтальная $y = -1$. Точка пересечения асимптот — $(1; -1)$.

2. Коэффициент $k=2 > 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях относительно новых осей, заданных асимптотами.

3. Найдём контрольные точки для построения графика.

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{3-x}{x-1} \implies 3-x = 0 \implies x = 3$. Точка $(3; 0)$.

Дополнительные точки:

Если $x = 2$, то $y = \frac{3-2}{2-1} = 1$. Точка $(2; 1)$.

Если $x = -1$, то $y = \frac{3-(-1)}{-1-1} = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-1; -2)$.

Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(0; -3)$, $(2; 1)$, $(3; 0)$.

в)

Для построения графика функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+2)-1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.

Мы получили функцию $y = \frac{-1}{x+2} + 1$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{-1}{x}$ смещением на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

1. Асимптоты графика: вертикальная $x = -2$ и горизонтальная $y = 1$. Точка пересечения асимптот — $(-2; 1)$.

2. Коэффициент $k=-1 < 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно новых осей, заданных асимптотами.

3. Найдём контрольные точки для построения графика.

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка $(0; 0.5)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{x+1}{x+2} \implies x+1 = 0 \implies x = -1$. Точка $(-1; 0)$.

Дополнительные точки:

Если $x = -3$, то $y = \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка $(-3; 2)$.

Если $x = -4$, то $y = \frac{-4+1}{-4+2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(-4; 1.5)$.

Строим асимптоты $x=-2$ и $y=1$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(-1; 0)$, $(0; 0.5)$, $(-3; 2)$.

5 Постройте график функции:

a) $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$;

б) $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$.

Образец. Построим график функции

$y = \frac{4x - 5}{x - 2}$.

Преобразуем дробь $\frac{4x - 5}{x - 2}$, выделив

её целую часть:

$\frac{4x - 5}{x - 2} = \frac{4(x - 2) + 3}{x - 2} = 4 + \frac{3}{x - 2}$.

Теперь легко найти асимптоты. Продолжите решение.

Сравните ответ с графиком, изображённым на рисунке 2.39.

$y = 4$

$x = 2$

$y = \frac{4x - 5}{x - 2}$

Рис. 2.39

а) Для построения графика функции $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$ преобразуем ее, выделив целую часть. Для этого в числителе выделим выражение, стоящее в знаменателе:
$y = \frac{2x + 6 + 1}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 1}{x + 3} = \frac{2(x + 3)}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} = 2 + \frac{1}{x + 3}$.
График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{1}{x+3}$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить график $y = 2 + \frac{1}{x + 3}$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -3$ (значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль) и горизонтальная $y = 2$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).
Для большей точности построения найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{2(0) + 7}{0 + 3} = \frac{7}{3}$. Точка $(0, \frac{7}{3})$.
- с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{2x + 7}{x + 3} \Rightarrow 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3.5$. Точка $(-3.5, 0)$.
Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=-3$ и $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$ – это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

б) Для построения графика функции $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$ также выделим целую часть:
$y = \frac{4x + 4 - 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1) - 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = 4 - \frac{2}{x + 1}$.
График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика функции $y = -\frac{2}{x}$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг графика $y = -\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = -\frac{2}{x+1}$.
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить график $y = 4 - \frac{2}{x + 1}$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 4$.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0) + 2}{0 + 1} = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4x + 2}{x + 1} \Rightarrow 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -0.5$. Точка $(-0.5, 0)$.
Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=-1$ и $y=4$.

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$ – это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=4$.

6 Найдите асимптоты графика функции и изобразите этот график схематически:

а) $y = \frac{6x}{2x + 1}$

б) $y = \frac{x + 3}{4 - 2x}$

в) $y = \frac{3x - 5}{2x + 8}$

а) $y = \frac{6x}{2x+1}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота существует в точке, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
При $x = -0.5$ числитель равен $6 \cdot (-0.5) = -3 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -0.5$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{6}{2} = 3$.
Следовательно, прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{6 \cdot 0}{2 \cdot 0 + 1} = 0$. Точка $(0,0)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{6x}{2x+1} = 0 \implies 6x=0 \implies x=0$. Точка $(0,0)$.
График проходит через начало координат.
Начертим асимптоты $x = -0.5$ и $y = 3$. Они пересекаются в точке $(-0.5, 3)$.
Так как точка $(0,0)$ находится правее вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной, одна ветвь гиперболы расположена в правой нижней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь, соответственно, будет в левой верхней четверти. Например, при $x=-1$, $y = \frac{6(-1)}{2(-1)+1} = \frac{-6}{-1} = 6$, что выше горизонтальной асимптоты $y=3$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -0.5$, горизонтальная асимптота: $y = 3$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-0.5, 3)$, проходящая через начало координат.

б) $y = \frac{x+3}{4-2x}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота: приравняем знаменатель к нулю.
$4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
При $x = 2$ числитель равен $2 + 3 = 5 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: вычислим предел при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{4-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{4}{x} - 2} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
Следовательно, прямая $y = -0.5$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{0+3}{4-0} = \frac{3}{4} = 0.75$. Точка $(0, 0.75)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{x+3}{4-2x} = 0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Точка $(-3, 0)$.
Начертим асимптоты $x = 2$ и $y = -0.5$. Они пересекаются в точке $(2, -0.5)$.
Точки $(0, 0.75)$ и $(-3, 0)$ находятся левее вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Значит, одна ветвь гиперболы расположена в левой верхней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь будет в правой нижней четверти. Например, при $x=3$, $y=\frac{3+3}{4-2(3)} = \frac{6}{-2}=-3$, что ниже горизонтальной асимптоты $y=-0.5$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 2$, горизонтальная асимптота: $y = -0.5$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(2, -0.5)$, пересекающая оси в точках $(-3, 0)$ и $(0, 0.75)$.

в) $y = \frac{3x-5}{2x+8}$

1. Нахождение асимптот.
Вертикальная асимптота: приравняем знаменатель к нулю.
$2x + 8 = 0 \implies 2x = -8 \implies x = -4$.
При $x = -4$ числитель равен $3(-4) - 5 = -12 - 5 = -17 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -4$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: вычислим предел при $x \to \infty$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{3x-5}{2x+8} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{8}{x}} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Следовательно, прямая $y = 1.5$ является горизонтальной асимптотой.

2. Схематическое построение графика.
График функции — гипербола.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{3(0)-5}{2(0)+8} = \frac{-5}{8} = -0.625$. Точка $(0, -0.625)$.
- С осью OX: $y=0 \implies \frac{3x-5}{2x+8} = 0 \implies 3x-5=0 \implies x=\frac{5}{3} \approx 1.67$. Точка $(\frac{5}{3}, 0)$.
Начертим асимптоты $x = -4$ и $y = 1.5$. Они пересекаются в точке $(-4, 1.5)$.
Точки $(0, -0.625)$ и $(\frac{5}{3}, 0)$ находятся правее вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Значит, одна ветвь гиперболы расположена в правой нижней четверти относительно асимптот.
Вторая ветвь будет в левой верхней четверти. Например, при $x=-5$, $y=\frac{3(-5)-5}{2(-5)+8} = \frac{-20}{-2}=10$, что выше горизонтальной асимптоты $y=1.5$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -4$, горизонтальная асимптота: $y = 1.5$. График — гипербола с ветвями в левой верхней и правой нижней четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-4, 1.5)$, пересекающая оси в точках $(\frac{5}{3}, 0)$ и $(0, -0.625)$.