Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

165 Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$, изобразите параболу схематически и отметьте на оси $x$ значения аргумента, при которых $y = 0$; $y < 0$; $y > 0$:

a) $y = x^2 - 1$;

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$;

в) $y = x^2 + 4x - 5$;

г) $y = x^2 - 6x + 5$;

д) $y = x^2 - 5x + 6$;

е) $y = -x^2 + x + 2$.

В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение из найденного множества.

а) Для параболы $y = x^2 - 1$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$, приравняв $y$ к нулю: $x^2 - 1 = 0$. Отсюда $x^2 = 1$, значит, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Схематически парабола пересекает ось $x$ в точках $-1$ и $1$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (-1, 1)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0$ из интервала $(-1, 1)$, получаем $y = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Возьмем $x=2$ из интервала $(1, \infty)$, получаем $y = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-1, 1$. $y=0$ при $x \in \{-1, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-1, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б) Для параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $-\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0 \implies \frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1/2 < 0$). Схематически парабола пересекает ось $x$ в точках $-2$ и $2$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y > 0$ на интервале между корнями: $x \in (-2, 2)$.
$y < 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-2, 2)$, получаем $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2 > 0$. Возьмем $x=3 \in (2, \infty)$, получаем $y = -\frac{1}{2}(3)^2 + 2 = -4.5 + 2 = -2.5 < 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-2, 2$. $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$; $y>0$ при $x \in (-2, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

в) Для параболы $y = x^2 + 4x - 5$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16+20=36$) находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-5$ и $1$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -5$ и $x = 1$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (-5, 1)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-5, 1)$, получаем $y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0$. Возьмем $x=2 \in (1, \infty)$, получаем $y = 2^2 + 4(2) - 5 = 4+8-5 = 7 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-5, 1$. $y=0$ при $x \in \{-5, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-5, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

г) Для параболы $y = x^2 - 6x + 5$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 6, произведение 5) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $1$ и $5$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 5$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (1, 5)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=2 \in (1, 5)$, получаем $y = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3 < 0$. Возьмем $x=0 \in (-\infty, 1)$, получаем $y = 0^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $1, 5$. $y=0$ при $x \in \{1, 5\}$; $y<0$ при $x \in (1, 5)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

д) Для параболы $y = x^2 - 5x + 6$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 5, произведение 6) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $2$ и $3$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 3$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (2, 3)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=2.5 \in (2, 3)$, получаем $y = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$. Возьмем $x=0 \in (-\infty, 2)$, получаем $y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $2, 3$. $y=0$ при $x \in \{2, 3\}$; $y<0$ при $x \in (2, 3)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

е) Для параболы $y = -x^2 + x + 2$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 1, произведение -2) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-1$ и $2$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 2$.
$y > 0$ на интервале между корнями: $x \in (-1, 2)$.
$y < 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-1, 2)$, получаем $y = -0^2 + 0 + 2 = 2 > 0$. Возьмем $x=3 \in (2, \infty)$, получаем $y = -(3)^2 + 3 + 2 = -9 + 5 = -4 < 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-1, 2$. $y=0$ при $x \in \{-1, 2\}$; $y>0$ при $x \in (-1, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

166 Найдите множество решений каждого из данных неравенств:

a) $x^2 + 4x - 21 < 0$ и $x^2 + 4x - 21 > 0$;

б) $x^2 - 4x - 12 > 0$ и $x^2 - 4x - 12 < 0$;

в) $x^2 - 9 < 0$ и $x^2 - 9 > 0$;

г) $x^2 + 10x > 0$ и $x^2 + 10x < 0$.

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примерами 1 и 2.

а) Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ и неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$.

Для обоих неравенств найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями. Множество решений: $x \in (-7, 3)$.

2. Неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

Ответ: для $x^2 + 4x - 21 < 0$ множество решений $x \in (-7, 3)$; для $x^2 + 4x - 21 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$ и неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -2) \cup (6, \infty)$.

2. Неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями. Множество решений: $x \in (-2, 6)$.

Ответ: для $x^2 - 4x - 12 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -2) \cup (6, \infty)$; для $x^2 - 4x - 12 < 0$ множество решений $x \in (-2, 6)$.

в) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$ и неравенство $x^2 - 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется между корнями. Множество решений: $x \in (-3, 3)$.

2. Неравенство $x^2 - 9 > 0$ выполняется за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Ответ: для $x^2 - 9 < 0$ множество решений $x \in (-3, 3)$; для $x^2 - 9 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 + 10x > 0$ и неравенство $x^2 + 10x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 10) = 0$. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 0$.

Графиком функции $y = x^2 + 10x$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 + 10x > 0$ выполняется за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -10) \cup (0, \infty)$.

2. Неравенство $x^2 + 10x < 0$ выполняется между корнями. Множество решений: $x \in (-10, 0)$.

Ответ: для $x^2 + 10x > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -10) \cup (0, \infty)$; для $x^2 + 10x < 0$ множество решений $x \in (-10, 0)$.

Решите неравенство (167-173):

a) $-x^2 - 7x - 10 < 0;$

б) $-x^2 + 6x + 7 > 0;$

в) $-x^2 + 4 > 0;$

г) $1 - x^2 < 0.$

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

а)

Решим неравенство $-x^2 - 7x - 10 < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 - 7x - 10) > (-1) \cdot 0$

$x^2 + 7x + 10 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы $y = x^2 + 7x + 10$ с осью Ox.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Парабола $y = x^2 + 7x + 10$ пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^2 + 7x + 10 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня ($-5$) и справа от большего корня ($-2$).

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-2, \infty)$

б)

Решим неравенство $-x^2 + 6x + 7 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - 6x - 7 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Парабола $y = x^2 - 6x - 7$ пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 7$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Мы ищем значения $x$, для которых $x^2 - 6x - 7 < 0$, то есть где график параболы находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 7)$

в)

Решим неравенство $-x^2 + 4 > 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$. Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 4$ пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Мы ищем значения $x$, для которых $x^2 - 4 < 0$, то есть где график параболы расположен ниже оси Ox. Это интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-2, 2)$

г)

Решим неравенство $1 - x^2 < 0$.

Перепишем неравенство в более привычном виде: $-x^2 + 1 < 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 1 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 - 1$ пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Нам нужно найти, при каких $x$ выполняется $x^2 - 1 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$

Решите неравенство (167-173):

168 а) $2x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

б) $-2x^2 - 6x + 20 \ge 0;$

в) $-4x^2 + 2x \ge 0;$

г) $0,5x^2 - 8 \ge 0.$

а) Дано неравенство $2x^2 - 4x + 2 \geq 0$.
Для упрощения разделим все члены неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 2x + 1 \geq 0$
Выражение в левой части является формулой полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Свернем выражение: $(x-1)^2 \geq 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть он либо больше, либо равен нулю. Данное неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Дано неравенство $-2x^2 - 6x + 20 \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 3x - 10 \leq 0$
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Мы решаем неравенство $x^2 + 3x - 10 \leq 0$. График функции $y = x^2 + 3x - 10$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-5; 2]$.
Ответ: $[-5; 2]$.

в) Дано неравенство $-4x^2 + 2x \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$2x^2 - x \leq 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) \leq 0$
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$.
$x_1 = 0$
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = 0,5$
График функции $y = 2x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(2x - 1) \leq 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями $0$ и $0,5$, включая концы отрезка.
Решение: $x \in [0; 0,5]$.
Ответ: $[0; 0,5]$.

г) Дано неравенство $0,5x^2 - 8 \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби. Знак неравенства не меняется:
$x^2 - 16 \geq 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 4)(x + 4) \geq 0$
Найдем корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
График функции $y = x^2 - 16$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, то есть $x \leq -4$ или $x \geq 4$.
Решение можно записать в виде объединения двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Решите неравенство (167-173):

169 а) $x^2 - 4x + 7 \le 0;$

б) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0;$

в) $x^2 + 3 > 0;$

г) $-x^2 - 2 \le 0;$

д) $-3x^2 \le 0;$

е) $2x^2 > 0.$

а) $x^2 - 4x + 7 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 7$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 7 = 0$, чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $x^2 - 4x + 7$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Неравенство $x^2 - 4x + 7 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно. Таким образом, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

б) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 4x - 5$. График — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля.

Найдем корни уравнения $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно.

Неравенство $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю, что невозможно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $x^2 + 3 > 0$

Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат будет не меньше 3: $x^2 + 3 \ge 3$.

Любое число, которое больше или равно 3, очевидно, больше 0. Таким образом, неравенство $x^2 + 3 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $-x^2 - 2 \le 0$

Для любого действительного числа $x$ верно $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.

Теперь вычтем 2 из обеих частей: $-x^2 - 2 \le -2$.

Так как любое число, которое меньше или равно -2, также будет меньше или равно 0, то неравенство $-x^2 - 2 \le 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

д) $-3x^2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 \ge \frac{0}{-3}$

$x^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $2x^2 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x^2 > 0$

Квадрат действительного числа $x^2$ равен нулю только в том случае, если $x=0$. Для всех остальных действительных чисел $x \ne 0$, их квадрат $x^2$ будет строго положительным.

Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \ne 0$, или $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Решите неравенство (167–173):

170 а) $x^2 < 25;$

б) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

в) $-2x^2 < -18;$

г) $x^2 + 1 \ge 5;$

д) $2x > x^2;$

е) $x^2 \le x;$

ж) $x < x^2;$

з) $0,5x^2 > -3x;$

и) $9 \le x^2;$

к) $-x^2 \ge -100;$

л) $\frac{1}{2}x^2 < 50;$

м) $6,4 > 0,1x^2.$

а) $x^2 < 25$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$x^2 - 25 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 5)(x + 5) < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x-5)(x+5)=0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство строгое, точки выколотые. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах. График функции $y = x^2 - 25$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-5, 5)$.
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$x^2 - \frac{1}{4} \geq 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) \geq 0$
Найдем корни уравнения $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$. Корни: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство нестрогое, точки закрашенные. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{2}]$, $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
График функции $y = x^2 - \frac{1}{4}$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.
Решением являются интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [1/2, +\infty)$.

в) $-2x^2 < -18$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 > 0$
Разложим на множители:
$(x - 3)(x + 3) > 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

г) $x^2 + 1 \geq 5$
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 + 1 - 5 \geq 0$
$x^2 - 4 \geq 0$
Разложим на множители:
$(x - 2)(x + 2) \geq 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Парабола $y = x^2 - 4$ имеет ветви вверх и пересекает ось Ох в точках -2 и 2. Неотрицательные значения функция принимает при $x$ вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

д) $2x > x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 > x^2 - 2x$
Или, что то же самое:
$x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) < 0$
Корни уравнения $x(x - 2) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви вверх, поэтому она отрицательна между корнями.
Ответ: $x \in (0, 2)$.

е) $x^2 \leq x$
Перенесем $x$ в левую часть:
$x^2 - x \leq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) \leq 0$
Корни уравнения $x(x - 1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [0, 1]$.

ж) $x < x^2$
Перенесем $x$ в правую часть:
$0 < x^2 - x$
$x^2 - x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) > 0$
Корни уравнения $x(x-1)=0$: $x_1=0$, $x_2=1$.
Парабола $y = x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

з) $0,5x^2 > -3x$
Перенесем $-3x$ в левую часть:
$0,5x^2 + 3x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(0,5x + 3) > 0$
Найдем корни уравнения $x(0,5x + 3) = 0$.
$x_1 = 0$ или $0,5x + 3 = 0 \Rightarrow 0,5x = -3 \Rightarrow x_2 = -6$.
Коэффициент при $x^2$ равен 0,5 (положительный), значит, ветви параболы $y = 0,5x^2 + 3x$ направлены вверх. Следовательно, выражение положительно вне интервала между корнями $(-6, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$.

и) $9 \leq x^2$
Это неравенство эквивалентно $x^2 \geq 9$.
$x^2 - 9 \geq 0$
$(x - 3)(x + 3) \geq 0$
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неотрицательно вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

к) $-x^2 \geq -100$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 \leq 100$
$x^2 - 100 \leq 0$
$(x - 10)(x + 10) \leq 0$
Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -10$.
Парабола $y = x^2 - 100$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-10, 10]$.

л) $\frac{1}{2}x^2 < 50$
Умножим обе части на 2:
$x^2 < 100$
$x^2 - 100 < 0$
$(x - 10)(x + 10) < 0$
Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -10$.
Парабола $y = x^2 - 100$ имеет ветви вверх, поэтому выражение отрицательно на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-10, 10)$.

м) $6,4 > 0,1x^2$
Это неравенство эквивалентно $0,1x^2 < 6,4$.
Умножим обе части на 10:
$x^2 < 64$
$x^2 - 64 < 0$
$(x - 8)(x + 8) < 0$
Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -8$.
Парабола $y = x^2 - 64$ имеет ветви вверх, поэтому выражение отрицательно на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8, 8)$.

Решите неравенство (167–173):

171

a) $3x^2 - 10x + 4 < 1;$

Б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2;$

В) $-5x^2 + 4x + 11 > 10;$

Г) $6x^2 + 7x - 2 > -3.$

а)

Исходное неравенство: $3x^2 - 10x + 4 < 1$.

Сначала перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство в стандартном виде:

$3x^2 - 10x + 4 - 1 < 0$

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$, чтобы найти его корни. Корни этого уравнения являются точками, в которых парабола $y = 3x^2 - 10x + 3$ пересекает ось Ox.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями, так как на этом интервале парабола находится ниже оси Ox.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (\frac{1}{3}, 3)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 3)$.

б)

Исходное неравенство: $-3x^2 + 7x + 4 < -2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-3x^2 + 7x + 4 + 2 < 0$

$-3x^2 + 7x + 6 < 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 7x - 6 = 0$, чтобы найти его корни.

Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 7x - 6 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями, где парабола находится выше оси Ox.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $-5x^2 + 4x + 11 > 10$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 + 4x + 11 - 10 > 0$

$-5x^2 + 4x + 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 - 4x - 1 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Графиком функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$).

Неравенство $5x^2 - 4x - 1 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\frac{1}{5}, 1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{5}, 1)$.

г)

Исходное неравенство: $6x^2 + 7x - 2 > -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$6x^2 + 7x - 2 + 3 > 0$

$6x^2 + 7x + 1 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $6x^2 + 7x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$.

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Графиком функции $y = 6x^2 + 7x + 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=6 > 0$).

Неравенство $6x^2 + 7x + 1 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.

Решите неравенство (167–173):

а) $4x(x + 2) < 5;$

б) $3x(1 - x) \le -6;$

в) $(2x + 1)(x + 1) > 3;$

г) $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2.$

Подсказка. Приведите неравенство к виду квадратного неравенства.

а) Исходное неравенство: $4x(x + 2) < 5$.
Раскроем скобки в левой части: $4x^2 + 8x < 5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $4x^2 + 8x - 5 < 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 8x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$.
Графиком функции $y = 4x^2 + 8x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал, заключенный между корнями.
Ответ: $x \in (-2.5; 0.5)$.

б) Исходное неравенство: $3x(1 - x) \le -6$.
Раскроем скобки: $3x - 3x^2 \le -6$.
Перенесем все члены в левую часть: $-3x^2 + 3x + 6 \le 0$.
Для удобства разделим обе части неравенства на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a = 1 > 0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства - это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $(2x + 1)(x + 1) > 3$.
Раскроем скобки: $2x^2 + 2x + x + 1 > 3$.
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $2x^2 + 3x + 1 - 3 > 0$, что дает $2x^2 + 3x - 2 > 0$.
Решим уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a = 2 > 0$). Неравенство $y > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства - это объединение двух открытых лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2$.
Раскроем скобки: $1 - 3x - 2x + 6x^2 \le 2$.
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $6x^2 - 5x + 1 - 2 \le 0$, что дает $6x^2 - 5x - 1 \le 0$.
Решим уравнение $6x^2 - 5x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
Графиком функции $y = 6x^2 - 5x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a = 6 > 0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{6}; 1]$.

Решите неравенство (167–173):

a) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

б) $(x + 5)(x - 2) > 0;$

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0;$

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0;$

д) $2x(x - 10) > 0;$

е) $x(2x + 3) \le 0.$

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примером 4.

а) $(x - 1)(x - 3) \le 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $1$ и $3$ будут закрашенными. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(x - 1)(x - 3)$ в каждом из интервалов, подставив в него пробные точки:

1. Для интервала $(-\infty; 1]$ возьмем $x = 0$. $(0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0$. Знак «+».

2. Для интервала $[1; 3]$ возьмем $x = 2$. $(2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) = -1 < 0$. Знак «-».

3. Для интервала $[3; +\infty)$ возьмем $x = 4$. $(4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) = 3 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $(x - 1)(x - 3)$ меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу, где мы получили знак «минус», включая концы интервала.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

б) $(x + 5)(x - 2) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(x - 2) = 0$.

Корни уравнения:

$x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим корни $-5$ и $2$ на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки не включаются в решение (изображаются выколотыми). Точки делят ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

1. При $x = -6$: $(-6 + 5)(-6 - 2) = (-1)(-8) = 8 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 0$: $(0 + 5)(0 - 2) = (5)(-2) = -10 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 3$: $(3 + 5)(3 - 2) = (8)(1) = 8 > 0$. Знак «+».

Нам нужно найти, где выражение больше нуля ($> 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули функции $y = (2x + 6)(x + 4)$:

$(2x + 6)(x + 4) = 0$

$2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x_1 = -3$

$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

Отметим корни $-4$ и $-3$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные. Получаем интервалы: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3]$ и $[-3; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах:

1. При $x = -5$: $(2(-5) + 6)(-5 + 4) = (-4)(-1) = 4 > 0$. Знак «+».

2. При $x = -3.5$: $(2(-3.5) + 6)(-3.5 + 4) = (-1)(0.5) = -0.5 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 0$: $(2(0) + 6)(0 + 4) = (6)(4) = 24 > 0$. Знак «+».

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Решение: $(-\infty; -4] \cup [-3; +\infty]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)$.

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $(3x - 3)(x + 1) = 0$.

Корни:

$3x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знаки выражения:

1. При $x = -2$: $(3(-2) - 3)(-2 + 1) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 0$: $(3(0) - 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 2$: $(3(2) - 3)(2 + 1) = (3)(3) = 9 > 0$. Знак «+».

Нам требуется, чтобы выражение было меньше нуля ($< 0$), поэтому выбираем интервал со знаком «-».

Решением является интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) $2x(x - 10) > 0$

Используем метод интервалов. Сначала разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится): $x(x - 10) > 0$.

Найдем корни уравнения $x(x - 10) = 0$.

Корни:

$x_1 = 0$

$x - 10 = 0 \implies x_2 = 10$

Отметим точки $0$ и $10$ на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 10)$ и $(10; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(x - 10)$:

1. При $x = -1$: $(-1)(-1 - 10) = 11 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 1$: $(1)(1 - 10) = -9 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 11$: $(11)(11 - 10) = 11 > 0$. Знак «+».

Так как нужно найти, где выражение больше нуля ($> 0$), выбираем интервалы со знаком «+».

Решение: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

е) $x(2x + 3) \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $x(2x + 3) = 0$.

Корни:

$x_1 = 0$

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$

Отметим точки $-\frac{3}{2}$ и $0$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Интервалы: $(-\infty; -\frac{3}{2}]$, $[-\frac{3}{2}; 0]$ и $[0; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(2x + 3)$:

1. При $x = -2$: $(-2)(2(-2) + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Знак «+».

2. При $x = -1$: $(-1)(2(-1) + 3) = (-1)(1) = -1 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 1$: $(1)(2(1) + 3) = (1)(5) = 5 > 0$. Знак «+».

Требуется найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервал со знаком «-», включая концы.

Решением является отрезок $[-\frac{3}{2}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; 0]$.

174. Найдите значения $x$, при которых:

а) значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$;

б) значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$3x^2 - x^2 + 2x + x - 1 - 1 < 0$

$2x^2 + 3x - 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=2 > 0$. Неравенство $2x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется, когда график параболы находится ниже оси $x$, то есть на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$, необходимо решить неравенство:

$-4x^2 + x + 1 > 2 - 4x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$-4x^2 + x + 4x + 1 - 2 > 0$

$-4x^2 + 5x - 1 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.