Номер 167, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 167, страница 68.

Решите неравенство (167-173):

a) $-x^2 - 7x - 10 < 0;$

б) $-x^2 + 6x + 7 > 0;$

в) $-x^2 + 4 > 0;$

г) $1 - x^2 < 0.$

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

а)

Решим неравенство $-x^2 - 7x - 10 < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 - 7x - 10) > (-1) \cdot 0$

$x^2 + 7x + 10 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы $y = x^2 + 7x + 10$ с осью Ox.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Парабола $y = x^2 + 7x + 10$ пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^2 + 7x + 10 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня ($-5$) и справа от большего корня ($-2$).

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-2, \infty)$

б)

Решим неравенство $-x^2 + 6x + 7 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - 6x - 7 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Парабола $y = x^2 - 6x - 7$ пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 7$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Мы ищем значения $x$, для которых $x^2 - 6x - 7 < 0$, то есть где график параболы находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 7)$

в)

Решим неравенство $-x^2 + 4 > 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$. Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 4$ пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Мы ищем значения $x$, для которых $x^2 - 4 < 0$, то есть где график параболы расположен ниже оси Ox. Это интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-2, 2)$

г)

Решим неравенство $1 - x^2 < 0$.

Перепишем неравенство в более привычном виде: $-x^2 + 1 < 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 1 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 - 1$ пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1$).

Нам нужно найти, при каких $x$ выполняется $x^2 - 1 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$