Номер 160, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 160, страница 65.

160 Постройте график функции:

а) $y = (x - 1)(x - 5);$

б) $y = (x + 1)(2x - 6);$

в) $y = (x - 2)(4 - x);$

г) $y = -0,5x(4 - x).$

а) $y = (x - 1)(x - 5)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Для её построения найдём ключевые точки и параметры.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

   $y = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$

   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$:

   $(x - 1)(x - 5) = 0$

   Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ находится посередине между корнями:

   $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

   Подставим $x_v = 3$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$:

   $y_v = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \cdot (-2) = -4$

   Координаты вершины: $(3, -4)$.

4. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Найдём значение функции при $x = 0$:

   $y = (0 - 1)(0 - 5) = (-1) \cdot (-5) = 5$

   Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, 5)$, а также точку, симметричную точке $(0, 5)$ относительно оси симметрии $x=3$ — это точка $(6, 5)$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, -4)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

б) $y = (x + 1)(2x - 6)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = 2x^2 - 6x + 2x - 6 = 2x^2 - 4x - 6$

   Коэффициент $a = 2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $(x + 1)(2x - 6) = 0$

   Корни: $x_1 = -1$ и $2x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

   $y_v = (1 + 1)(2 \cdot 1 - 6) = 2 \cdot (2 - 6) = 2 \cdot (-4) = -8$

   Координаты вершины: $(1, -8)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. Подставим $x = 0$:

   $y = (0 + 1)(2 \cdot 0 - 6) = 1 \cdot (-6) = -6$

   Точка пересечения: $(0, -6)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, -8)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -6)$ и симметричную ей точку $(2, -6)$ относительно оси $x=1$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(1, -8)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

в) $y = (x - 2)(4 - x)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = 4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2 + 6x - 8$

   Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $(x - 2)(4 - x) = 0$

   Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{2 + 4}{2} = 3$

   $y_v = (3 - 2)(4 - 3) = 1 \cdot 1 = 1$

   Координаты вершины: $(3, 1)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. Подставим $x = 0$:

   $y = (0 - 2)(4 - 0) = -2 \cdot 4 = -8$

   Точка пересечения: $(0, -8)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(3, 1)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(4, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(6, -8)$ относительно оси $x=3$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(3, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

г) $y = -0,5x(4 - x)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = -2x + 0,5x^2 = 0,5x^2 - 2x$

   Коэффициент $a = 0,5 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $-0,5x(4 - x) = 0$

   Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{0 + 4}{2} = 2$

   $y_v = -0,5 \cdot 2 \cdot (4 - 2) = -1 \cdot 2 = -2$

   Координаты вершины: $(2, -2)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$ получаем $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$ совпадает с одной из точек пересечения с осью Ox.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(2, -2)$ и точки пересечения с осью Ox $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Для большей точности найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = -0,5 \cdot 1 (4 - 1) = -1,5$. Отметим точку $(1, -1,5)$ и симметричную ей $(3, -1,5)$. Соединим все точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(2, -2)$. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.