Номер 158, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 158, страница 64.

158 Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5;$ в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x;$ д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4;$

б) $y = -x^2 + 2x - 5;$ г) $y = -2x^2 + 8;$ е) $y = x^2 + 4x + 4.$

В каждом случае укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) значения $x$, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$;

3) наибольшее (или наименьшее) значение функции;

4) область значений функции.

а) $y = x^2 + 6x + 5$

Для построения графика этой квадратичной функции, которая является параболой, определим её ключевые свойства. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
$y_v = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Вершина находится в точке $(-3, -4)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$.
Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = 5$.

На основе этих данных отвечаем на вопросы:

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$ при $x = -5$ и $x = -1$.
   $y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$.
   $y < 0$ при $x \in (-5, -1)$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = -4$.
4. область значений функции.
   Область значений функции: $E(y) = [-4, \infty)$.

Ответ: 1) убывает на $(-\infty, -3]$, возрастает на $[-3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-5, -1\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$, $y<0$ при $x \in (-5, -1)$; 3) наименьшее значение $-4$; 4) область значений $[-4, \infty)$.

б) $y = -x^2 + 2x - 5$

Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a=-1 < 0$.

Координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$.
Вершина находится в точке $(1, -4)$.

Для нахождения нулей функции решим уравнение $-x^2 + 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16 < 0$. Действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$: нет таких значений $x$.
   $y > 0$: нет таких значений $x$.
   $y < 0$ при всех действительных значениях $x$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение: $y_{наиб} = -4$.
4. область значений функции.
   Область значений функции: $E(y) = (-\infty, -4]$.

Ответ: 1) возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, \infty)$; 2) $y=0$ и $y>0$ не достигаются, $y<0$ при $x \in (-\infty, \infty)$; 3) наибольшее значение $-4$; 4) область значений $(-\infty, -4]$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a=\frac{1}{2} > 0$.

Координаты вершины:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$.
$y_v = y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$.
Вершина: $(2, -2)$.

Нули функции: $\frac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \implies x(\frac{1}{2}x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$.
   $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
   $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Функция имеет наименьшее значение: $y_{наим} = -2$.
4. область значений функции.
   Область значений: $E(y) = [-2, \infty)$.

Ответ: 1) убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{0, 4\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$, $y<0$ при $x \in (0, 4)$; 3) наименьшее значение $-2$; 4) область значений $[-2, \infty)$.

г) $y = -2x^2 + 8$

Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-2 < 0$).

Координаты вершины:
$x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.
$y_v = y(0) = -2(0)^2 + 8 = 8$.
Вершина: $(0, 8)$.

Нули функции: $-2x^2 + 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
   $y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.
   $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Функция имеет наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.
4. область значений функции.
   Область значений: $E(y) = (-\infty, 8]$.

Ответ: 1) возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$, $y>0$ при $x \in (-2, 2)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; 3) наибольшее значение $8$; 4) область значений $(-\infty, 8]$.

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-\frac{1}{2} < 0$).

Координаты вершины:
$x_v = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 3$.
$y_v = y(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -4.5 + 9 - 4 = 0.5$.
Вершина: $(3, 0.5)$.

Нули функции: $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция возрастает на $(-\infty, 3]$ и убывает на $[3, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$ при $x = 2$ и $x = 4$.
   $y > 0$ при $x \in (2, 4)$.
   $y < 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Функция имеет наибольшее значение: $y_{наиб} = 0.5$.
4. область значений функции.
   Область значений: $E(y) = (-\infty, 0.5]$.

Ответ: 1) возрастает на $(-\infty, 3]$, убывает на $[3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{2, 4\}$, $y>0$ при $x \in (2, 4)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$; 3) наибольшее значение $0.5$; 4) область значений $(-\infty, 0.5]$.

е) $y = x^2 + 4x + 4$

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$). Функцию можно записать как $y = (x+2)^2$.

Координаты вершины:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_v = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 0$.
Вершина: $(-2, 0)$.

Нули функции: $(x+2)^2 = 0$. Корень: $x = -2$. Парабола касается оси Ox в своей вершине.

1. промежутки возрастания и убывания функции;
   Функция убывает на $(-\infty, -2]$ и возрастает на $[-2, \infty)$.
2. значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
   $y = 0$ при $x = -2$.
   $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.
   $y < 0$: нет таких значений $x$.
3. наибольшее (или наименьшее) значение функции;
   Функция имеет наименьшее значение: $y_{наим} = 0$.
4. область значений функции.
   Область значений: $E(y) = [0, \infty)$.

Ответ: 1) убывает на $(-\infty, -2]$, возрастает на $[-2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x = -2$, $y>0$ при $x \neq -2$, $y<0$ не достигается; 3) наименьшее значение $0$; 4) область значений $[0, \infty)$.