Номер 157, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 157, страница 64.

157 Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 4x - 1;$

б) $y = x^2 + 2x - 4;$

в) $y = -x^2 + 6x - 7.$

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

а) $y = 2x^2 - 4x - 1$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, её график — парабола.
Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$.
$y_в = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -3)$. Ось симметрии графика — прямая $x = 1$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$. Для этого подставим $x=0$:
$y(0) = 2(0)^2 - 4(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Найдём симметричную ей точку относительно оси $x=1$. Это будет точка $(2, -1)$.
Найдём ещё пару точек для точности. Возьмём $x=3$:
$y(3) = 2(3)^2 - 4(3) - 1 = 18 - 12 - 1 = 5$. Точка $(3, 5)$.
Симметричная ей точка — $(-1, 5)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(1, -3)$ и точки $(0, -1)$, $(2, -1)$, $(3, 5)$, $(-1, 5)$, после чего соединяем их плавной линией.

2. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Решим уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (4 \pm \sqrt{24}) / (2 \cdot 2) = (4 \pm 2\sqrt{6}) / 4 = 1 \pm \sqrt{6}/2$.

3. Наименьшее значение функции:
Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.
$y_{наим} = y_в = -3$.

Ответ: нули функции $x = 1 - \sqrt{6}/2$ и $x = 1 + \sqrt{6}/2$; наименьшее значение функции равно $-3$.

б) $y = x^2 + 2x - 4$
Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -5)$. Ось симметрии — $x = -1$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$y(0) = 0^2 + 2(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ — это $(-2, -4)$.
Найдём ещё пару точек. Возьмём $x=1$:
$y(1) = 1^2 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$. Точка $(1, -1)$.
Симметричная ей точка — $(-3, -1)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(-1, -5)$ и точки $(0, -4)$, $(-2, -4)$, $(1, -1)$, $(-3, -1)$ и соединяем их плавной кривой.

2. Нули функции:
Решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
$x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (-2 \pm \sqrt{20}) / 2 = (-2 \pm 2\sqrt{5}) / 2 = -1 \pm \sqrt{5}$.

3. Наименьшее значение функции:
Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
$y_{наим} = y_в = -5$.

Ответ: нули функции $x = -1 - \sqrt{5}$ и $x = -1 + \sqrt{5}$; наименьшее значение функции равно $-5$.

в) $y = -x^2 + 6x - 7$
Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3$.
$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии — $x = 3$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$y(0) = -(0)^2 + 6(0) - 7 = -7$. Точка $(0, -7)$.
Найдём пару точек, симметричных относительно оси $x=3$. Возьмём $x=2$:
$y(2) = -(2)^2 + 6(2) - 7 = -4 + 12 - 7 = 1$. Точка $(2, 1)$.
Симметричная ей точка — $(4, 1)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(3, 2)$ и точки $(2, 1)$, $(4, 1)$, $(0, -7)$ и соединяем их плавной кривой.

2. Нули функции:
Решим уравнение $-x^2 + 6x - 7 = 0$ (умножим на $-1$ для удобства: $x^2 - 6x + 7 = 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
$x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (6 \pm \sqrt{8}) / 2 = (6 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = 3 \pm \sqrt{2}$.

3. Наибольшее значение функции:
Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.
$y_{наиб} = y_в = 2$.

Ответ: нули функции $x = 3 - \sqrt{2}$ и $x = 3 + \sqrt{2}$; наибольшее значение функции равно $2$.