Страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

159 Постройте график функции на заданном промежутке; укажите наименьшее и наибольшее значения функции; укажите область значений функции:

а) $y = 2x^2 - 6x + 4$; $[0; 2]$

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$; $[-1; 2]$

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$; $[-4; 1]$

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$; $[-4; 2]$

Для решения задачи необходимо для каждой квадратичной функции найти координаты ее вершины, вычислить значения функции в вершине и на концах заданного промежутка, а затем из этих значений выбрать наименьшее и наибольшее. Область значений функции на отрезке будет заключена между найденными наименьшим и наибольшим значениями.

1. Анализ функции и построение графика.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение на промежутке функция будет принимать либо в вершине параболы (если она попадает в промежуток), либо на одном из концов промежутка.

2. Нахождение вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Так как $0 \le 1.5 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Найдем значение функции в вершине и на концах промежутка $[0; 2]$.
Значение в вершине (это будет наименьшее значение):
$y(1.5) = 2 \cdot (1.5)^2 - 6 \cdot 1.5 + 4 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Значения на концах промежутка:
$y(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем полученные значения: $y(1.5)=-0.5$, $y(0)=4$, $y(2)=0$.
Наименьшее значение функции на промежутке $[0; 2]$: $y_{наим} = -0.5$.
Наибольшее значение функции на промежутке $[0; 2]$: $y_{наиб} = 4$.
Область значений функции на данном промежутке: $E(y) = [-0.5; 4]$.

Ответ: наименьшее значение функции -0.5, наибольшее значение функции 4, область значений [-0.5; 4].

1. Анализ функции и построение графика.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a=-2 < 0$. Наибольшее значение на промежутке функция будет принимать либо в вершине, либо на одном из концов.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Так как $-1 \le 1 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (это будет наибольшее значение):
$y(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$.
Значения на концах промежутка:
$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 6 = -2 - 4 + 6 = 0$.
$y(2) = -2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(1)=8$, $y(-1)=0$, $y(2)=6$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 8$.
Область значений функции: $E(y) = [0; 8]$.

Ответ: наименьшее значение функции 0, наибольшее значение функции 8, область значений [0; 8].

1. Анализ функции и построение графика.
Парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a=-\frac{1}{2} < 0$.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-2}{-1} = -2$.
Так как $-4 \le -2 \le 1$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (наибольшее значение):
$y(-2) = -\frac{1}{2} \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - 5 = -2 + 4 - 5 = -3$.
Значения на концах промежутка:
$y(-4) = -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 - 2 \cdot (-4) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$.
$y(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 5 = -0.5 - 2 - 5 = -7.5$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(-2)=-3$, $y(-4)=-5$, $y(1)=-7.5$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -7.5$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = -3$.
Область значений функции: $E(y) = [-7.5; -3]$.

Ответ: наименьшее значение функции -7.5, наибольшее значение функции -3, область значений [-7.5; -3].

1. Анализ функции и построение графика.
Парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a=\frac{1}{4} > 0$.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.
Так как $-4 \le -2 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (наименьшее значение):
$y(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.
Значения на концах промежутка:
$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 + (-4) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$.
$y(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(-2)=0$, $y(-4)=1$, $y(2)=4$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 4$.
Область значений функции: $E(y) = [0; 4]$.

Ответ: наименьшее значение функции 0, наибольшее значение функции 4, область значений [0; 4].

160 Постройте график функции:

а) $y = (x - 1)(x - 5);$

б) $y = (x + 1)(2x - 6);$

в) $y = (x - 2)(4 - x);$

г) $y = -0,5x(4 - x).$

а) $y = (x - 1)(x - 5)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Для её построения найдём ключевые точки и параметры.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

   $y = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$

   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$:

   $(x - 1)(x - 5) = 0$

   Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ находится посередине между корнями:

   $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

   Подставим $x_v = 3$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$:

   $y_v = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \cdot (-2) = -4$

   Координаты вершины: $(3, -4)$.

4. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Найдём значение функции при $x = 0$:

   $y = (0 - 1)(0 - 5) = (-1) \cdot (-5) = 5$

   Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, 5)$, а также точку, симметричную точке $(0, 5)$ относительно оси симметрии $x=3$ — это точка $(6, 5)$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, -4)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

б) $y = (x + 1)(2x - 6)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = 2x^2 - 6x + 2x - 6 = 2x^2 - 4x - 6$

   Коэффициент $a = 2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $(x + 1)(2x - 6) = 0$

   Корни: $x_1 = -1$ и $2x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

   $y_v = (1 + 1)(2 \cdot 1 - 6) = 2 \cdot (2 - 6) = 2 \cdot (-4) = -8$

   Координаты вершины: $(1, -8)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. Подставим $x = 0$:

   $y = (0 + 1)(2 \cdot 0 - 6) = 1 \cdot (-6) = -6$

   Точка пересечения: $(0, -6)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, -8)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -6)$ и симметричную ей точку $(2, -6)$ относительно оси $x=1$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(1, -8)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

в) $y = (x - 2)(4 - x)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = 4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2 + 6x - 8$

   Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $(x - 2)(4 - x) = 0$

   Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{2 + 4}{2} = 3$

   $y_v = (3 - 2)(4 - 3) = 1 \cdot 1 = 1$

   Координаты вершины: $(3, 1)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. Подставим $x = 0$:

   $y = (0 - 2)(4 - 0) = -2 \cdot 4 = -8$

   Точка пересечения: $(0, -8)$.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(3, 1)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(4, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(6, -8)$ относительно оси $x=3$. Затем плавно соединим эти точки.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(3, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

г) $y = -0,5x(4 - x)$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Приведём функцию к стандартному виду:

   $y = -2x + 0,5x^2 = 0,5x^2 - 2x$

   Коэффициент $a = 0,5 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью Ox. Решим уравнение $y = 0$:

   $-0,5x(4 - x) = 0$

   Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

   $x_v = \frac{0 + 4}{2} = 2$

   $y_v = -0,5 \cdot 2 \cdot (4 - 2) = -1 \cdot 2 = -2$

   Координаты вершины: $(2, -2)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$ получаем $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$ совпадает с одной из точек пересечения с осью Ox.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(2, -2)$ и точки пересечения с осью Ox $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Для большей точности найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = -0,5 \cdot 1 (4 - 1) = -1,5$. Отметим точку $(1, -1,5)$ и симметричную ей $(3, -1,5)$. Соединим все точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(2, -2)$. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

161 Мяч бросили вертикально вверх с высоты 3 м с начальной скоростью 9 м/с. На какую максимальную высоту поднялся мяч и когда он упал на землю?

Подсказка. Из курса физики вы знаете, что высота $h$, на которой находится мяч, является квадратичной функцией времени полёта $t$. Она вычисляется по формуле $h = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$. Подставив в эту формулу значения $v_0$ и $h_0$ и считая, что $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$, получим $h = -4,9t^2 + 9t + 3$ ($h$ — в м, $t$ — в с).

В задаче даны начальные условия движения мяча, брошенного вертикально вверх: начальная высота $h_0 = 3$ м и начальная скорость $v_0 = 9$ м/с. Ускорение свободного падения принимается равным $g \approx 9,8$ м/с².

Высота мяча $h$ в момент времени $t$ описывается квадратичной функцией, которая уже приведена в условии: $h(t) = -4,9t^2 + 9t + 3$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $t^2$ отрицательный, $-4,9 < 0$). Нам нужно найти два параметра этого движения.

На какую максимальную высоту поднялся мяч

Максимальная высота, на которую поднимется мяч, соответствует вершине параболы. Сначала найдем время $t_{max}$, в которое будет достигнута эта высота. Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ по оси абсцисс вычисляется по формуле $x_{вершины} = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -4,9$, $b = 9$.

$t_{max} = -\frac{9}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{9}{9,8} \approx 0,92$ с.

Теперь подставим это значение времени в уравнение для высоты, чтобы найти саму максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = h(0,92) = -4,9 \cdot (0,92)^2 + 9 \cdot 0,92 + 3$

$h_{max} \approx -4,9 \cdot 0,8464 + 8,28 + 3 \approx -4,15 + 8,28 + 3 \approx 7,13$ м.

Ответ: максимальная высота, на которую поднялся мяч, составляет примерно 7,13 м.

когда он упал на землю?

Мяч упадет на землю в тот момент времени $t$, когда его высота $h$ станет равной нулю. Для этого нам нужно решить квадратное уравнение:

$-4,9t^2 + 9t + 3 = 0$

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot (-4,9) \cdot 3 = 81 + 58,8 = 139,8$

$\sqrt{D} \approx 11,82$

Теперь найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-9 - 11,82}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{-20,82}{-9,8} \approx 2,12$ с.

$t_2 = \frac{-9 + 11,82}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{2,82}{-9,8} \approx -0,29$ с.

Так как время не может быть отрицательной величиной, второй корень $t_2$ не имеет физического смысла. Следовательно, мяч упадет на землю через примерно 2,12 секунды после броска.

Ответ: мяч упал на землю примерно через 2,12 с.

162 Мяч падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю.

1) Запишите уравнение, которое задает соотношение между высотой $h$ (м) мяча над землёй и временем падения $t$ (с).

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

3) По графику определите:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

1) Запишите уравнение, которое задает соотношение между высотой h (м) мяча над землёй и временем падения t (с).

Движение падающего мяча является равноускоренным. Высота тела над землей $h$ в момент времени $t$ при свободном падении без начальной скорости описывается формулой:
$h(t) = h_0 - \frac{gt^2}{2}$
где $h_0$ — начальная высота, $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время падения.

По условию задачи, начальная высота $h_0 = 20$ м. Ускорение свободного падения $g$ принимаем равным примерно $10$ м/с², что является стандартным допущением для упрощения расчетов в школьных задачах (более точное значение $g \approx 9,8$ м/с²).

Подставляем известные значения в формулу:
$h(t) = 20 - \frac{10t^2}{2}$
$h(t) = 20 - 5t^2$

Это уравнение является квадратичной функцией, которая связывает высоту мяча над землей $h$ (в метрах) и время падения $t$ (в секундах).

Ответ: Уравнение, задающее соотношение между высотой мяча над землёй и временем падения: $h(t) = 20 - 5t^2$.

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

Для построения графика функции $h(t) = 20 - 5t^2$ найдем несколько точек, принадлежащих этому графику. Физический смысл имеют только значения при $t \ge 0$ и $h \ge 0$.

Найдем время, когда мяч достигнет земли, то есть когда $h(t) = 0$:
$20 - 5t^2 = 0$
$5t^2 = 20$
$t^2 = 4$
$t = 2$ с (так как время не может быть отрицательным).
Следовательно, нам нужно построить график на интервале времени $t \in [0, 2]$.

Составим таблицу значений:

Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0, 20)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График зависимости высоты от времени представлен выше.

3) По графику определите:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

Время падения мяча — это момент времени $t$, когда высота $h$ становится равной нулю. На графике это точка пересечения кривой с горизонтальной осью времени (осью абсцисс). Из графика видно, что это происходит при $t = 2$ с.

Ответ: Мяч будет падать примерно 2 секунды.

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

Чтобы определить, когда мяч падает быстрее, нужно сравнить расстояние, которое он пролетел за каждый интервал времени. Скорость падения тем больше, чем круче идет график (чем сильнее изменяется высота за единицу времени).

• За первую секунду (от $t=0$ до $t=1$ с) высота изменилась с 20 м до 15 м. Пройденный путь: $\Delta h_1 = h(0) - h(1) = 20 - 15 = 5$ м.
• За вторую секунду (от $t=1$ до $t=2$ с) высота изменилась с 15 м до 0 м. Пройденный путь: $\Delta h_2 = h(1) - h(2) = 15 - 0 = 15$ м.

Поскольку за вторую секунду мяч пролетел большее расстояние ($15$ м > $5$ м), его скорость во вторую секунду была выше. На графике видно, что наклон кривой на интервале $[1, 2]$ значительно больше, чем на интервале $[0, 1]$.

Ответ: Мяч падает быстрее во вторую секунду.

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

Чтобы найти это значение по графику, нужно найти на горизонтальной оси точку $t=1,5$ с, провести от нее вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси высот. На графике эта точка отмечена зеленым цветом. Линия указывает на значение между 5 м и 10 м, ближе к 10 м.

Точное значение можно найти по нашей формуле:
$h(1,5) = 20 - 5 \cdot (1,5)^2 = 20 - 5 \cdot 2,25 = 20 - 11,25 = 8,75$ м.

Ответ: Через 1,5 с мяч окажется на расстоянии 8,75 м от земли.

163 а) На рисунке 2.25 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2. Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от радиуса внутреннего круга x. Выполните следующие задания.

1) Начертите график зависимости A от x.

2) Какова область определения рассматриваемой функции?

3) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

б) На рисунке 2.26 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2. Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от его ширины x. Выполните следующие задания.

1) Начертите график зависимости A от x.

2) Какова область определения рассматриваемой функции?

3) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Подсказка. Воспользуйтесь формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга, $\pi \approx 3$.

а)

Площадь кольца $A$ вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов. Согласно рисунку 2.25, радиус внешнего круга $R=2$, а радиус внутреннего круга равен $x$. Используя формулу площади круга $S = \pi r^2$ и подсказку $\pi \approx 3$, получаем:

Площадь внешнего круга: $S_{внешн} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь внутреннего круга: $S_{внутр} = \pi x^2$.

Площадь кольца $A$ как функция от $x$: $A(x) = S_{внешн} - S_{внутр} = 4\pi - \pi x^2 = \pi(4 - x^2)$.

С учетом $\pi \approx 3$, итоговая формула: $A(x) = 3(4 - x^2) = 12 - 3x^2$.

1) График зависимости $A(x) = 12 - 3x^2$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 12)$. Поскольку область определения $x \in [0, 2]$, график начинается в точке $(0, 12)$, проходит через точку $(1, 9)$ (поскольку $A(1) = 12 - 3 \cdot 1^2 = 9$), и заканчивается в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс (поскольку $A(2) = 12 - 3 \cdot 2^2 = 0$). Ответ: График функции $A(x) = 12 - 3x^2$ на отрезке $[0, 2]$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз, которая начинается в точке $(0, 12)$ и заканчивается в точке $(2, 0)$.

2) Область определения функции — это множество всех допустимых значений переменной $x$. Так как $x$ — это радиус, он не может быть отрицательным ($x \ge 0$). Кроме того, внутренний круг не может быть больше внешнего, поэтому его радиус $x$ не может превышать радиус внешнего круга $R=2$ ($x \le 2$). Таким образом, область определения функции — это отрезок $[0, 2]$. Ответ: Область определения функции $A(x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

3) Для анализа изменения площади найдем производную функции $A(x) = 12 - 3x^2$: $A'(x) = -6x$. На интервале $(0, 2]$ производная отрицательна ($A'(x) < 0$), следовательно, функция монотонно убывает. При изменении $x$ от 0 до 2, площадь $A$ кольца убывает с $A(0)=12$ до $A(2)=0$. На промежутке от 0 до 1, площадь $A$ убывает с 12 до $A(1)=9$. На промежутке от 1 до 2, площадь $A$ продолжает убывать с 9 до 0. Ответ: С увеличением $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно убывает с 12 до 0. На интервале от 0 до 1 площадь убывает с 12 до 9, а на интервале от 1 до 2 — с 9 до 0.

б)

Согласно рисунку 2.26, радиус внешнего круга $R=2$, а $x$ — это ширина кольца. Ширина связана с радиусами соотношением $x = R - r$, где $r$ — радиус внутреннего круга. Отсюда $r = R - x = 2 - x$. Площадь кольца $A$ равна:

$A(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2^2) - \pi (2 - x)^2 = \pi(4 - (4 - 4x + x^2)) = \pi(4x - x^2)$.

С учетом $\pi \approx 3$, итоговая формула: $A(x) = 3(4x - x^2) = 12x - 3x^2$.

1) График зависимости $A(x) = 12x - 3x^2$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = -12/(2 \cdot (-3)) = 2$. Ордината вершины $A(2) = 12(2) - 3(2^2) = 24 - 12 = 12$. График начинается в точке $(0, 0)$ (ширина и площадь равны нулю), проходит через точку $(1, 9)$ (поскольку $A(1) = 12(1) - 3(1^2) = 9$) и достигает максимума в своей вершине $(2, 12)$. Ответ: График функции $A(x) = 12x - 3x^2$ на отрезке $[0, 2]$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз, которая начинается в точке $(0, 0)$ и достигает вершины в точке $(2, 12)$.

2) Область определения функции — это множество всех допустимых значений $x$. Ширина кольца $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$). Также ширина $x$ не может превышать радиус внешнего круга $R=2$, так как $x = R - r$ и $r \ge 0$. Следовательно, область определения — это отрезок $[0, 2]$. Ответ: Область определения функции $A(x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

3) Для анализа изменения площади найдем производную функции $A(x) = 12x - 3x^2$: $A'(x) = 12 - 6x = 6(2 - x)$. На интервале $[0, 2)$ производная положительна ($A'(x) > 0$), следовательно, функция монотонно возрастает. При изменении $x$ от 0 до 2, площадь $A$ кольца возрастает с $A(0)=0$ до $A(2)=12$. На промежутке от 0 до 1, площадь $A$ возрастает с 0 до $A(1)=9$. На промежутке от 1 до 2, площадь $A$ продолжает возрастать с 9 до 12. Ответ: С увеличением $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно возрастает с 0 до 12. На интервале от 0 до 1 площадь возрастает с 0 до 9, а на интервале от 1 до 2 — с 9 до 12.

164 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

Футболист на тренировке подбрасывает мяч ногой вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с. На какую максимальную высоту поднимется мяч?

Для решения этой задачи воспользуемся законами кинематики. Движение мяча, подброшенного вертикально вверх, является движением с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $g$, которое направлено вниз.

Примем направление движения вверх за положительное. Тогда нам известны следующие величины:
Начальная скорость: $v_0 = 15$ м/с.
Ускорение: $a = -g$. Для упрощения расчетов, примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².
Конечная скорость в точке максимального подъема: $v = 0$ м/с.

Мы ищем максимальную высоту подъема $h_{max}$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей скорость, ускорение и перемещение, без использования времени:

$v^2 = v_0^2 + 2ah$

Подставим известные значения в формулу:

$0^2 = 15^2 + 2(-g)h_{max}$

$0 = 225 - 2gh_{max}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую высоту $h_{max}$:

$2gh_{max} = 225$

$h_{max} = \frac{225}{2g}$

Подставим численное значение для $g$ и произведем вычисления:

$h_{max} = \frac{225}{2 \cdot 10} = \frac{225}{20} = 11,25$ м.

Ответ: мяч поднимется на максимальную высоту 11,25 м.