Страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

175 Решите неравенство:

а) $\frac{100}{(x - 5)(x - 10)} > 0$;

б) $\frac{1}{(2 - x)(x + 4)} \leq 0$;

в) $\frac{-20}{(1 - x)(3 - x)} < 0$.

а) Решим неравенство $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0 $.
Поскольку числитель дроби $100$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен. Таким образом, данное неравенство равносильно следующему:
$ (x-5)(x-10) > 0 $.
Для решения этого квадратного неравенства применим метод интервалов.
1. Найдём нули выражения, стоящего в левой части: $x-5=0 \Rightarrow x=5$ и $x-10=0 \Rightarrow x=10$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 5)$, $(5; 10)$ и $(10; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x-5)(x-10)$ на каждом интервале. Графиком функции $y=(x-5)(x-10)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения вне своих корней и отрицательные — между ними.
- На интервале $(-\infty; 5)$ знак "+".
- На интервале $(5; 10)$ знак "−".
- На интервале $(10; +\infty)$ знак "+".
Поскольку нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (10; +\infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0 $.
Числитель дроби $1$ положителен. Сама дробь не может быть равна нулю, так как её числитель не равен нулю. Значит, неравенство можно переписать в строгом виде:
$ \frac{1}{(2-x)(x+4)} < 0 $.
Чтобы дробь с положительным числителем была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным:
$ (2-x)(x+4) < 0 $.
Для удобства приведём множители к стандартному виду $(x-a)$. Вынесем $-1$ из первой скобки:
$ -(x-2)(x+4) < 0 $.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$ (x-2)(x+4) > 0 $.
Найдём нули выражения: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ и $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
Отметим точки $-4$ и $2$ на числовой оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Аналогично пункту а), парабола $y=(x-2)(x+4)$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна на крайних интервалах.
- На интервале $(-\infty; -4)$ знак "+".
- На интервале $(-4; 2)$ знак "−".
- На интервале $(2; +\infty)$ знак "+".
Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0 $.
Числитель дроби $-20$ является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:
$ (1-x)(3-x) > 0 $.
Приведём множители к стандартному виду:
$ (-1)(x-1) \cdot (-1)(x-3) > 0 $
$ (x-1)(x-3) > 0 $.
Другой способ: можно было умножить исходное неравенство на $-1$, поменяв знак: $\frac{20}{(1-x)(3-x)} > 0$, что также приводит к требованию $(1-x)(3-x) > 0$.
Найдём нули выражения: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
Отметим точки $1$ и $3$ на числовой оси. Они делят её на интервалы $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Парабола $y=(x-1)(x-3)$ имеет ветви вверх, значит, она положительна вне корней.
- На интервале $(-\infty; 1)$ знак "+".
- На интервале $(1; 3)$ знак "−".
- На интервале $(3; +\infty)$ знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

176 a) Найдите положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$.

б) Найдите отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < 0$.

Чтобы найти положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$, первым шагом решим само это неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) на интервале между корнями.

Решением неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$ является интервал $(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти только положительные решения, то есть те значения $x$, которые удовлетворяют условию $x > 0$. Для этого найдем пересечение полученного интервала $(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$ с интервалом $(0; +\infty)$.

Так как $-1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом, а $-1 + \sqrt{3}$ — положительным (поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$), то пересечением будет интервал $(0; -1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $(0; \sqrt{3} - 1)$.

Чтобы найти отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < 0$, сначала решим данное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется для всех $x$, находящихся между корнями.

Решением неравенства является интервал $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.

По условию, нам необходимо найти отрицательные решения, то есть те, что удовлетворяют условию $x < 0$. Найдем пересечение интервала решений $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ с множеством отрицательных чисел $(-\infty; 0)$.

Оценим значения корней: $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$ (отрицательное число), а $1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$ (положительное число). Таким образом, общая часть двух интервалов — это промежуток от левого корня до нуля.

Искомый интервал отрицательных решений: $(1 - \sqrt{2}; 0)$.

Ответ: $(1 - \sqrt{2}; 0)$.

177 Найтите решения неравенства:

а) $5x^2 \geq 4x + 1$, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$.

б) $5x - 1 > 4x^2$, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$.

а)

Сначала решим квадратное неравенство $5x^2 \ge 4x + 1$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид:

$5x^2 - 4x - 1 \ge 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$. Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Графиком функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=5 > 0$). Следовательно, неравенство $5x^2 - 4x - 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [1; +\infty)$.

По условию задачи, нам нужно найти те решения, которые принадлежат промежутку $[-2; 2]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства с этим промежутком:

$(-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [1; +\infty) \cap [-2; 2]$

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[-2; -\frac{1}{5}]$ и $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\frac{1}{5}] \cup [1; 2]$.

б)

Решим неравенство $5x - 1 > 4x^2$. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:

$0 > 4x^2 - 5x + 1$, что эквивалентно $4x^2 - 5x + 1 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся строго между корнями.

Решением неравенства является интервал $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Теперь найдем решения, принадлежащие заданному промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$. Для этого найдем пересечение интервала $(\frac{1}{4}; 1)$ с отрезком $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}] $.

Сравним границы промежутков: $\frac{1}{4} = 0.25$, а $\frac{1}{3} \approx 0.333$. Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ и $1 < \frac{3}{2}$, то пересечением будет промежуток, начинающийся с $\frac{1}{3}$ (включительно) и заканчивающийся $1$ (не включительно).

$(\frac{1}{4}; 1) \cap [\frac{1}{3}; \frac{3}{2}] = [\frac{1}{3}; 1)$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1)$.

178 Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0, \\ x + 3 > 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0, \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0, \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - 1 \le 0, \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x^2 + 5 > 0, \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} -(x + 1)^2 < 0, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0, \\ x + 3 > 3; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $6x^2 - 54 \le 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2) Решим второе неравенство: $x + 3 > 3$.
Вычтем 3 из обеих частей: $x > 0$.
Решение второго неравенства: $x \in (0, +\infty)$.

3) Найдем пересечение полученных решений: $[-3, 3] \cap (0, +\infty)$.
Пересечением является промежуток $(0, 3]$.

Ответ: $(0, 3]$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0, \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $3x^2 + 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $2 - \frac{1}{2}x \ge 0$.
$2 \ge \frac{1}{2}x$, умножим обе части на 2: $4 \ge x$, или $x \le 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4]$.

3) Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.
Пересечение состоит из двух промежутков: $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, 4]$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0, \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $6x^2 + 7x + 1 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{12} = \frac{-12}{12} = -1$, $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, -\frac{1}{6}]$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $[-1, -\frac{1}{6}] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))$.
Промежуток $[-1, -\frac{1}{6}]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$, поэтому пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \le 0, \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \le 0$.
$(x - 1)(x + 1) \le 0$.
Решение: $x \in [-1, 1]$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \ge 0$.
$x(x - 3) \ge 0$.
Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $[-1, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [3, +\infty))$.
Пересечением является промежуток $[-1, 0]$.

Ответ: $[-1, 0]$.

д) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5 > 0, \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $x^2 + 5 > 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Следовательно, неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех $x$.
Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 + 5x > 0$.
$x(x + 5) > 0$.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (0, +\infty))$.
Пересечением является само множество $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

е) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} -(x + 1)^2 < 0, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $-(x + 1)^2 < 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $(x + 1)^2 > 0$.
Квадрат выражения положителен всегда, кроме случая, когда само выражение равно нулю.
$(x+1)^2 = 0$ при $x = -1$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $1 - x \ge 0$.
$1 \ge x$, или $x \le 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1]$.

3) Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$.
Это все числа, не превосходящие 1, кроме числа -1.
Пересечением является множество $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.

179 Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$;

б) $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$;

в) $\sqrt{\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1}$;

г) $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$.

а) Чтобы найти допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$7x^2 + 6x - 1 \geq 0$
Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 6x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 8}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Графиком функции $y = 7x^2 + 6x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 7, что больше 0). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$4 + x - 0,5x^2 \geq 0$
Умножим обе части неравенства на -2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать старший коэффициент положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-8 - 2x + x^2 \leq 0$
$x^2 - 2x - 8 \leq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант):
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in [-2, 4]$.
Ответ: $x \in [-2, 4]$.

в) Найдем допустимые значения для выражения $\sqrt{\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1}$. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1 \geq 0$
Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от дробей:
$x^2 + 2x - 8 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

г) Для выражения $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$ допустимые значения переменной определяются неравенством:
$3 - \frac{1}{2}x^2 \geq 0$
Перенесем член с $x^2$ в правую часть:
$3 \geq \frac{1}{2}x^2$
Умножим обе части на 2:
$6 \geq x^2$, что то же самое, что и $x^2 \leq 6$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}$.
Следовательно, допустимые значения переменной принадлежат отрезку $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.

180 Функция задана формулой $y = f(x)$. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$;

б) $f(x) = \frac{\sqrt{3x(x + 2)}}{x - 2}$;

в) $f(x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x^2}$;

г) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2 - 1}$;

д) $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 1}$;

е) $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4}$.

а) $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Составим систему:

$\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$. Это интервал $x \in [-3, 3]$.

Теперь учтем второе условие $x \neq 0$. Мы должны исключить точку $x=0$ из найденного интервала.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 3]$.

б) $f(x) = \frac{\sqrt{3x(x + 2)}}{x - 2}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 3x(x + 2) \ge 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $3x(x + 2) \ge 0$. Корни левой части: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 0$. Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.

Из второго условия получаем $x \neq 2$. Исключаем это значение из найденного множества.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x^2}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 6 + x - x^2 \ge 0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $6 + x - x^2 \ge 0$. Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 - x - 6 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $(x-3)(x+2) \le 0$ выполняется между корнями: $-2 \le x \le 3$. Это интервал $x \in [-2, 3]$.

Второе условие $x^2 \neq 0$ означает $x \neq 0$. Исключаем эту точку из интервала $[-2, 3]$.

Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, 3]$.

г) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Первое неравенство $1 - x^2 \ge 0$ эквивалентно $x^2 \le 1$, что дает $-1 \le x \le 1$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Объединяя условия, мы должны взять интервал $[-1, 1]$ и исключить из него концы. Это дает строгий интервал.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

д) $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$. Это интервал $x \in [-2, 2]$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Мы должны исключить точки $x=1$ и $x=-1$ из интервала $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2]$.

е) $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$. Это выполняется, когда $x \le -1$ или $x \ge 1$. В виде интервалов: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Второе условие $x^2 - 4 \neq 0$ означает $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь исключим точки $x=2$ и $x=-2$ из найденного множества. Точка $x=-2$ находится в интервале $(-\infty, -1]$, а точка $x=2$ находится в интервале $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty)$.

181 Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство:

а) $a^2 + a + 1 > 0;$

б) $-a^2 + 3a - 5 < 0.$

Подсказка. Способ 1. Используйте графические соображения. Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

а) $a^2 + a + 1 > 0$

Способ 1. Используйте графические соображения.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 + a + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при старшем члене ($a^2$) равен $1$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Чтобы неравенство $y(a) > 0$ выполнялось для всех значений $a$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась выше оси абсцисс. Это возможно только в том случае, если у параболы нет точек пересечения с этой осью, то есть соответствующее квадратное уравнение $a^2 + a + 1 = 0$ не имеет действительных корней.
Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось абсцисс, ее график полностью лежит в верхней полуплоскости. Следовательно, значение функции $y(a)$ всегда положительно.

Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(a + \frac{1}{2})^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Второе слагаемое, $\frac{3}{4}$, является положительным числом.
Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна. Наименьшее значение выражения достигается при $(a + \frac{1}{2})^2 = 0$ (то есть при $a = -\frac{1}{2}$) и равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку наименьшее значение выражения равно $\frac{3}{4}$, а это больше нуля, то и само выражение всегда больше нуля.

Ответ: Доказано, что неравенство $a^2 + a + 1 > 0$ верно при всех значениях $a$.

б) $-a^2 + 3a - 5 < 0$

Способ 1. Используйте графические соображения.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = -a^2 + 3a - 5$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при старшем члене ($-a^2$) равен $-1$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.
Чтобы неравенство $y(a) < 0$ выполнялось для всех значений $a$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась ниже оси абсцисс. Это возможно только в том случае, если у параболы нет точек пересечения с этой осью, то есть соответствующее квадратное уравнение $-a^2 + 3a - 5 = 0$ не имеет действительных корней.
Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 9 - 20 = -11$.
Так как дискриминант $D = -11 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось абсцисс, ее график полностью лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, значение функции $y(a)$ всегда отрицательно.

Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Для удобства сначала вынесем $-1$ за скобки:
$-a^2 + 3a - 5 = -(a^2 - 3a + 5)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $a^2 - 3a + 5$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 - 3a + 5 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 5 = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$.
Вернемся к исходному выражению:
$-(a^2 - 3a + 5) = - \left( (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4} \right) = -(a - \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$.
Проанализируем полученное выражение. Выражение $(a - \frac{3}{2})^2$ всегда неотрицательно, значит, $-(a - \frac{3}{2})^2$ всегда неположительно (то есть $\le 0$).
Из этого неположительного значения вычитается положительное число $\frac{11}{4}$.
Наибольшее значение выражения достигается при $(a - \frac{3}{2})^2 = 0$ (то есть при $a = \frac{3}{2}$) и равно $0 - \frac{11}{4} = -\frac{11}{4}$.
Поскольку наибольшее значение выражения равно $-\frac{11}{4}$, а это меньше нуля, то и само выражение всегда меньше нуля.

Ответ: Доказано, что неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$ верно при всех значениях $a$.

182 Докажите двумя способами, что не существует таких значений $x$, при которых выполняется неравенство:

a) $x^2 - 4x + 5 < 0$;

б) $-x^2 + 8x - 20 > 0$.

а) $x^2 - 4x + 5 < 0$

Способ 1: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для чего решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси Ox. Следовательно, для любого значения $x$ значение выражения $x^2 - 4x + 5$ будет положительным.

Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ было бы верным.

Способ 2: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$.

Неравенство принимает вид $(x - 2)^2 + 1 < 0$.

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Тогда сумма $(x - 2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна $1$, так как $(x - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Следовательно, выражение $(x - 2)^2 + 1$ не может быть меньше нуля ни при каком значении $x$.

Ответ: доказано, что неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ не имеет решений.

б) $-x^2 + 8x - 20 > 0$

Способ 1: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 8x - 20$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-x^2 + 8x - 20 = 0$. Умножим обе части на $-1$ для удобства: $x^2 - 8x + 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена в нижней полуплоскости, то есть ниже оси Ox. Следовательно, для любого значения $x$ значение выражения $-x^2 + 8x - 20$ будет отрицательным.

Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ было бы верным.

Способ 2: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства. Вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 8x + 20) > 0$.

Выделим полный квадрат в выражении в скобках:

$x^2 - 8x + 20 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 20 = (x - 4)^2 - 16 + 20 = (x - 4)^2 + 4$.

Неравенство принимает вид $-((x - 4)^2 + 4) > 0$.

Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно: $(x - 4)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, сумма $(x - 4)^2 + 4$ всегда положительна и больше или равна $4$: $(x - 4)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Тогда выражение $-((x - 4)^2 + 4)$ всегда будет отрицательным (точнее, меньше или равно $-4$).

Таким образом, выражение $-((x - 4)^2 + 4)$ не может быть больше нуля ни при каком значении $x$.

Ответ: доказано, что неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ не имеет решений.

183 При каких значениях $b$ уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два различных корня?

Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5; 1,5; 5,36$?

При каких значениях b уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два различных корня?

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

В данном уравнении $x^2 + bx + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b$ является параметром, $c = 4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Чтобы уравнение имело два различных корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:
$b^2 - 16 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 16 = 0$:
$b^2 = 16$
$b_1 = -4$, $b_2 = 4$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как ветви параболы $y = b^2 - 16$ направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $b^2 - 16 > 0$ выполняется, когда $b < -4$ или $b > 4$.

В виде объединения интервалов это записывается как $b \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

Ответ: Уравнение имеет два различных корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5$; $1,5$; $5,36$?

Уравнение имеет действительные корни (один или два), если его дискриминант $D$ не является отрицательным, то есть $D \ge 0$. Из решения первого пункта мы знаем, что $D = b^2 - 16$.

Таким образом, уравнение имеет корни при $b^2 - 16 \ge 0$, что соответствует $b \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$. Проверим каждое из заданных значений $b$:

1. При $b = -25,5$:
   Значение $-25,5$ меньше, чем $-4$, поэтому оно принадлежит интервалу $(-\infty; -4]$.
   $D = (-25,5)^2 - 16 = 650,25 - 16 = 634,25$.
   Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

2. При $b = 1,5$:
   Значение $1,5$ находится в интервале $(-4; 4)$, то есть $-4 < 1,5 < 4$.
   $D = (1,5)^2 - 16 = 2,25 - 16 = -13,75$.
   Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

3. При $b = 5,36$:
   Значение $5,36$ больше, чем $4$, поэтому оно принадлежит интервалу $[4; \infty)$.
   $D = (5,36)^2 - 16 = 28,7296 - 16 = 12,7296$.
   Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: При $b = -25,5$ и $b = 5,36$ уравнение имеет корни, а при $b = 1,5$ — не имеет.

184 При каких значениях $b$ уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$ имеет корни? Приведите пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию.

Данное уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + kx + c = 0$.

Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два) в том и только в том случае, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Формула дискриминанта: $D = k^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = -2$, $k = -b$ и $c = -8$.

Вычислим дискриминант: $D = (-b)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8) = b^2 - 64$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$, чтобы найти значения $b$, при которых уравнение имеет корни: $b^2 - 64 \ge 0$

Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(b - 8)(b + 8) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $(b-8)(b+8)=0$ являются точки $b = 8$ и $b = -8$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Так как неравенство имеет вид $b^2 \ge 64$, оно будет верным для значений $b$, которые по модулю больше или равны 8.

Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков: $b \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.

Далее, согласно условию, необходимо привести пример отрицательного значения $b$. Из найденного множества решений $b \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$ следует, что отрицательные значения $b$ принадлежат промежутку $(-\infty, -8]$.

Мы можем выбрать любое число из этого промежутка. Например, $b = -8$, $b = -9$ или $b = -20$. Возьмем в качестве примера $b = -10$. Это значение является отрицательным и удовлетворяет условию $b \le -8$.

Ответ: Уравнение имеет корни при $b \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$. Пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию: $b = -10$.

185 Найдите все целые значения b, при которых уравнение $9x^2 + 2bx + 1 = 0$ не имеет корней.

Данное уравнение $9x^2 + 2bx + 1 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней в том и только в том случае, когда его дискриминант $D$ строго меньше нуля.

Формула для нахождения дискриминанта квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ следующая: $D = k^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 9$, $k = 2b$ и $c = 1$.

Вычислим дискриминант:
$D = (2b)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 4b^2 - 36$.

Теперь, согласно условию отсутствия корней, составим и решим неравенство $D < 0$:
$4b^2 - 36 < 0$

Прибавим 36 к обеим частям неравенства:
$4b^2 < 36$

Разделим обе части на 4:
$b^2 < 9$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-3 < b < 3$.

В задаче требуется найти все целые значения $b$, удовлетворяющие этому условию. Целыми числами, которые находятся в интервале $(-3; 3)$, являются -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

186 Найдите все значения $m$, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два различных корня. Из чисел $-1,5$; $-0,5$; $0$; $0,5$; $1,5$ выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Найдем все значения m, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два различных корня.

Данное уравнение является уравнением с параметром. Его тип зависит от значения $m$.

1. Если $m = 0$, уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2x + 0 = 0$ $-2x = 0$ $x = 0$ В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

2. Если $m \neq 0$, уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = m$, $b = -2$, $c = m$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot m \cdot m = 4 - 4m^2$.

Теперь решим неравенство $D > 0$: $4 - 4m^2 > 0$ Разделим обе части на 4: $1 - m^2 > 0$ $m^2 < 1$ Это неравенство равносильно системе $\begin{cases} m < 1 \\ m > -1 \end{cases}$, то есть $m \in (-1, 1)$.

Объединяя результат с условием $m \neq 0$, получаем, что исходное уравнение имеет два различных корня при всех $m$, принадлежащих объединению интервалов $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Ответ: $m \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Из чисел $-1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5$ выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Мы установили, что условию удовлетворяют значения $m$ из множества $(-1, 0) \cup (0, 1)$. Проверим каждое из предложенных чисел:

• $m = -1,5$: не удовлетворяет условию, так как $-1,5 < -1$.
• $m = -0,5$: удовлетворяет условию, так как $-1 < -0,5 < 0$.
• $m = 0$: не удовлетворяет условию, так как точка $m=0$ исключена.
• $m = 0,5$: удовлетворяет условию, так как $0 < 0,5 < 1$.
• $m = 1,5$: не удовлетворяет условию, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, из предложенного списка чисел подходят только $-0,5$ и $0,5$.

Ответ: $-0,5; 0,5$.

187 Найдите все целые значения $m$, при которых уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имеет два различных корня.

Для того чтобы уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант квадратного уравнения должен быть строго больше нуля.

Рассмотрим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $4m$. Для того чтобы уравнение было квадратным, необходимо, чтобы $4m \neq 0$, что равносильно $m \neq 0$. Если предположить, что $m=0$, то исходное уравнение примет вид $5x = 0$. Это линейное уравнение, которое имеет только один корень $x=0$, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

Рассмотрим второе условие. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $a = 4m$, $b = 5$, $c = m$. Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot (4m) \cdot m = 25 - 16m^2$.

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$. Составим и решим неравенство: $25 - 16m^2 > 0$ $16m^2 < 25$ $m^2 < \frac{25}{16}$

Решением этого неравенства является интервал: $-\sqrt{\frac{25}{16}} < m < \sqrt{\frac{25}{16}}$ $-\frac{5}{4} < m < \frac{5}{4}$ В десятичной записи это выглядит как $-1.25 < m < 1.25$.

Теперь нам нужно найти все целые значения $m$, которые удовлетворяют обоим условиям: $m \neq 0$ и $-1.25 < m < 1.25$. Целые числа, которые находятся в интервале $(-1.25; 1.25)$, это $-1, 0, 1$. Исключая значение $m=0$ из этого набора, мы получаем искомые значения $m$.

Таким образом, подходящими целыми значениями $m$ являются -1 и 1.

Ответ: -1; 1