Номер 186, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 186, страница 69.

186 Найдите все значения $m$, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два различных корня. Из чисел $-1,5$; $-0,5$; $0$; $0,5$; $1,5$ выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Найдем все значения m, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два различных корня.

Данное уравнение является уравнением с параметром. Его тип зависит от значения $m$.

1. Если $m = 0$, уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2x + 0 = 0$ $-2x = 0$ $x = 0$ В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

2. Если $m \neq 0$, уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = m$, $b = -2$, $c = m$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot m \cdot m = 4 - 4m^2$.

Теперь решим неравенство $D > 0$: $4 - 4m^2 > 0$ Разделим обе части на 4: $1 - m^2 > 0$ $m^2 < 1$ Это неравенство равносильно системе $\begin{cases} m < 1 \\ m > -1 \end{cases}$, то есть $m \in (-1, 1)$.

Объединяя результат с условием $m \neq 0$, получаем, что исходное уравнение имеет два различных корня при всех $m$, принадлежащих объединению интервалов $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Ответ: $m \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Из чисел $-1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5$ выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Мы установили, что условию удовлетворяют значения $m$ из множества $(-1, 0) \cup (0, 1)$. Проверим каждое из предложенных чисел:

• $m = -1,5$: не удовлетворяет условию, так как $-1,5 < -1$.
• $m = -0,5$: удовлетворяет условию, так как $-1 < -0,5 < 0$.
• $m = 0$: не удовлетворяет условию, так как точка $m=0$ исключена.
• $m = 0,5$: удовлетворяет условию, так как $0 < 0,5 < 1$.
• $m = 1,5$: не удовлетворяет условию, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, из предложенного списка чисел подходят только $-0,5$ и $0,5$.

Ответ: $-0,5; 0,5$.