Номер 193, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 193, страница 71.

193 Решите неравенство:

a) $x(x + 1)(x - 4)(2 - x) < 0$

б) $(x + 5)(3 - x)(5 - x) > 0$

Подсказка. Преобразуйте неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был равен 1.

а) $x(x + 1)(x - 4)(2 - x) < 0$

Для решения данного неравенства методом интервалов воспользуемся подсказкой и преобразуем его так, чтобы коэффициент при переменной $x$ в каждом множителе был равен 1. В множителе $(2 - x)$ коэффициент при $x$ равен -1. Вынесем -1 за скобки:

$(2 - x) = -(x - 2)$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство:

$x(x + 1)(x - 4)(-(x - 2)) < 0$

$-x(x + 1)(x - 2)(x - 4) < 0$

Чтобы избавиться от знака минуса в левой части, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x + 1)(x - 2)(x - 4) > 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x(x + 1)(x - 2)(x - 4) = 0$

Корнями уравнения являются значения $x$, при которых хотя бы один из множителей равен нулю: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$, $x_4 = 4$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -1, 0, 2, 4. Так как неравенство строгое (знак >), все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов:

$(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x + 1)(x - 2)(x - 4)$ в каждом из интервалов. Для этого можно взять любую пробную точку из каждого интервала, либо определить знак в крайнем правом интервале и далее чередовать знаки, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Возьмем $x = 5$ из интервала $(4; +\infty)$. Все множители $5$, $(5+1)$, $(5-2)$, $(5-4)$ положительны, значит, их произведение положительно. Ставим знак "+" в этом интервале. Далее знаки чередуются:

+ -1 - 0 + 2 - 4 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-\infty; -1)$, $(0; 2)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$

б) $(x + 5)(3 - x)(5 - x) > 0$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем множители, в которых коэффициент при $x$ не равен 1. Это множители $(3 - x)$ и $(5 - x)$.

$(3 - x) = -(x - 3)$

$(5 - x) = -(x - 5)$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(x + 5)(-(x - 3))(-(x - 5)) > 0$

В левой части мы имеем произведение двух отрицательных множителей $(-1) \cdot (-1) = 1$. Поэтому знак неравенства не изменится:

$(x + 5)(x - 3)(x - 5) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 5)(x - 3)(x - 5) = 0$

Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

Отметим выколотые точки -5, 3, 5 на числовой оси. Они разделят ось на четыре интервала:

$(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ (например, при $x=6$) все множители положительны, поэтому их произведение положительно. Ставим знак "+". Так как все корни имеют кратность 1, знаки будут чередоваться.

- -5 + 3 - 5 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-5; 3)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; 3) \cup (5; +\infty)$