Номер 187, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 187, страница 69.

187 Найдите все целые значения $m$, при которых уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имеет два различных корня.

Для того чтобы уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант квадратного уравнения должен быть строго больше нуля.

Рассмотрим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $4m$. Для того чтобы уравнение было квадратным, необходимо, чтобы $4m \neq 0$, что равносильно $m \neq 0$. Если предположить, что $m=0$, то исходное уравнение примет вид $5x = 0$. Это линейное уравнение, которое имеет только один корень $x=0$, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

Рассмотрим второе условие. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $a = 4m$, $b = 5$, $c = m$. Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot (4m) \cdot m = 25 - 16m^2$.

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$. Составим и решим неравенство: $25 - 16m^2 > 0$ $16m^2 < 25$ $m^2 < \frac{25}{16}$

Решением этого неравенства является интервал: $-\sqrt{\frac{25}{16}} < m < \sqrt{\frac{25}{16}}$ $-\frac{5}{4} < m < \frac{5}{4}$ В десятичной записи это выглядит как $-1.25 < m < 1.25$.

Теперь нам нужно найти все целые значения $m$, которые удовлетворяют обоим условиям: $m \neq 0$ и $-1.25 < m < 1.25$. Целые числа, которые находятся в интервале $(-1.25; 1.25)$, это $-1, 0, 1$. Исключая значение $m=0$ из этого набора, мы получаем искомые значения $m$.

Таким образом, подходящими целыми значениями $m$ являются -1 и 1.

Ответ: -1; 1