Номер 181, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 181, страница 69.

181 Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство:

а) $a^2 + a + 1 > 0;$

б) $-a^2 + 3a - 5 < 0.$

Подсказка. Способ 1. Используйте графические соображения. Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

а) $a^2 + a + 1 > 0$

Способ 1. Используйте графические соображения.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 + a + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при старшем члене ($a^2$) равен $1$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Чтобы неравенство $y(a) > 0$ выполнялось для всех значений $a$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась выше оси абсцисс. Это возможно только в том случае, если у параболы нет точек пересечения с этой осью, то есть соответствующее квадратное уравнение $a^2 + a + 1 = 0$ не имеет действительных корней.
Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось абсцисс, ее график полностью лежит в верхней полуплоскости. Следовательно, значение функции $y(a)$ всегда положительно.

Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(a + \frac{1}{2})^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Второе слагаемое, $\frac{3}{4}$, является положительным числом.
Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна. Наименьшее значение выражения достигается при $(a + \frac{1}{2})^2 = 0$ (то есть при $a = -\frac{1}{2}$) и равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку наименьшее значение выражения равно $\frac{3}{4}$, а это больше нуля, то и само выражение всегда больше нуля.

Ответ: Доказано, что неравенство $a^2 + a + 1 > 0$ верно при всех значениях $a$.

б) $-a^2 + 3a - 5 < 0$

Способ 1. Используйте графические соображения.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = -a^2 + 3a - 5$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при старшем члене ($-a^2$) равен $-1$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.
Чтобы неравенство $y(a) < 0$ выполнялось для всех значений $a$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась ниже оси абсцисс. Это возможно только в том случае, если у параболы нет точек пересечения с этой осью, то есть соответствующее квадратное уравнение $-a^2 + 3a - 5 = 0$ не имеет действительных корней.
Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 9 - 20 = -11$.
Так как дискриминант $D = -11 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось абсцисс, ее график полностью лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, значение функции $y(a)$ всегда отрицательно.

Способ 2. Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Для удобства сначала вынесем $-1$ за скобки:
$-a^2 + 3a - 5 = -(a^2 - 3a + 5)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $a^2 - 3a + 5$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 - 3a + 5 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 5 = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$.
Вернемся к исходному выражению:
$-(a^2 - 3a + 5) = - \left( (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4} \right) = -(a - \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$.
Проанализируем полученное выражение. Выражение $(a - \frac{3}{2})^2$ всегда неотрицательно, значит, $-(a - \frac{3}{2})^2$ всегда неположительно (то есть $\le 0$).
Из этого неположительного значения вычитается положительное число $\frac{11}{4}$.
Наибольшее значение выражения достигается при $(a - \frac{3}{2})^2 = 0$ (то есть при $a = \frac{3}{2}$) и равно $0 - \frac{11}{4} = -\frac{11}{4}$.
Поскольку наибольшее значение выражения равно $-\frac{11}{4}$, а это меньше нуля, то и само выражение всегда меньше нуля.

Ответ: Доказано, что неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$ верно при всех значениях $a$.