Номер 175, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 175, страница 69.

175 Решите неравенство:

а) $\frac{100}{(x - 5)(x - 10)} > 0$;

б) $\frac{1}{(2 - x)(x + 4)} \leq 0$;

в) $\frac{-20}{(1 - x)(3 - x)} < 0$.

а) Решим неравенство $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0 $.
Поскольку числитель дроби $100$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен. Таким образом, данное неравенство равносильно следующему:
$ (x-5)(x-10) > 0 $.
Для решения этого квадратного неравенства применим метод интервалов.
1. Найдём нули выражения, стоящего в левой части: $x-5=0 \Rightarrow x=5$ и $x-10=0 \Rightarrow x=10$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 5)$, $(5; 10)$ и $(10; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x-5)(x-10)$ на каждом интервале. Графиком функции $y=(x-5)(x-10)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения вне своих корней и отрицательные — между ними.
- На интервале $(-\infty; 5)$ знак "+".
- На интервале $(5; 10)$ знак "−".
- На интервале $(10; +\infty)$ знак "+".
Поскольку нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (10; +\infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0 $.
Числитель дроби $1$ положителен. Сама дробь не может быть равна нулю, так как её числитель не равен нулю. Значит, неравенство можно переписать в строгом виде:
$ \frac{1}{(2-x)(x+4)} < 0 $.
Чтобы дробь с положительным числителем была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным:
$ (2-x)(x+4) < 0 $.
Для удобства приведём множители к стандартному виду $(x-a)$. Вынесем $-1$ из первой скобки:
$ -(x-2)(x+4) < 0 $.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$ (x-2)(x+4) > 0 $.
Найдём нули выражения: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ и $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
Отметим точки $-4$ и $2$ на числовой оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Аналогично пункту а), парабола $y=(x-2)(x+4)$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна на крайних интервалах.
- На интервале $(-\infty; -4)$ знак "+".
- На интервале $(-4; 2)$ знак "−".
- На интервале $(2; +\infty)$ знак "+".
Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0 $.
Числитель дроби $-20$ является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:
$ (1-x)(3-x) > 0 $.
Приведём множители к стандартному виду:
$ (-1)(x-1) \cdot (-1)(x-3) > 0 $
$ (x-1)(x-3) > 0 $.
Другой способ: можно было умножить исходное неравенство на $-1$, поменяв знак: $\frac{20}{(1-x)(3-x)} > 0$, что также приводит к требованию $(1-x)(3-x) > 0$.
Найдём нули выражения: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
Отметим точки $1$ и $3$ на числовой оси. Они делят её на интервалы $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Парабола $y=(x-1)(x-3)$ имеет ветви вверх, значит, она положительна вне корней.
- На интервале $(-\infty; 1)$ знак "+".
- На интервале $(1; 3)$ знак "−".
- На интервале $(3; +\infty)$ знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.