Номер 178, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 178, страница 69.

178 Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0, \\ x + 3 > 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0, \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0, \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - 1 \le 0, \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x^2 + 5 > 0, \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} -(x + 1)^2 < 0, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0, \\ x + 3 > 3; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $6x^2 - 54 \le 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2) Решим второе неравенство: $x + 3 > 3$.
Вычтем 3 из обеих частей: $x > 0$.
Решение второго неравенства: $x \in (0, +\infty)$.

3) Найдем пересечение полученных решений: $[-3, 3] \cap (0, +\infty)$.
Пересечением является промежуток $(0, 3]$.

Ответ: $(0, 3]$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0, \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $3x^2 + 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $2 - \frac{1}{2}x \ge 0$.
$2 \ge \frac{1}{2}x$, умножим обе части на 2: $4 \ge x$, или $x \le 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4]$.

3) Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.
Пересечение состоит из двух промежутков: $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, 4]$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0, \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $6x^2 + 7x + 1 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{12} = \frac{-12}{12} = -1$, $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, -\frac{1}{6}]$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $[-1, -\frac{1}{6}] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))$.
Промежуток $[-1, -\frac{1}{6}]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$, поэтому пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \le 0, \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \le 0$.
$(x - 1)(x + 1) \le 0$.
Решение: $x \in [-1, 1]$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \ge 0$.
$x(x - 3) \ge 0$.
Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $[-1, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [3, +\infty))$.
Пересечением является промежуток $[-1, 0]$.

Ответ: $[-1, 0]$.

д) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5 > 0, \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $x^2 + 5 > 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Следовательно, неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех $x$.
Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 + 5x > 0$.
$x(x + 5) > 0$.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (0, +\infty))$.
Пересечением является само множество $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

е) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} -(x + 1)^2 < 0, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $-(x + 1)^2 < 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $(x + 1)^2 > 0$.
Квадрат выражения положителен всегда, кроме случая, когда само выражение равно нулю.
$(x+1)^2 = 0$ при $x = -1$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $1 - x \ge 0$.
$1 \ge x$, или $x \le 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1]$.

3) Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$.
Это все числа, не превосходящие 1, кроме числа -1.
Пересечением является множество $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.