Номер 174, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 174, страница 68.

174. Найдите значения $x$, при которых:

а) значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$;

б) значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$3x^2 - x^2 + 2x + x - 1 - 1 < 0$

$2x^2 + 3x - 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=2 > 0$. Неравенство $2x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется, когда график параболы находится ниже оси $x$, то есть на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$, необходимо решить неравенство:

$-4x^2 + x + 1 > 2 - 4x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$-4x^2 + x + 4x + 1 - 2 > 0$

$-4x^2 + 5x - 1 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.