Номер 173, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 173, страница 68.

Решите неравенство (167–173):

a) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

б) $(x + 5)(x - 2) > 0;$

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0;$

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0;$

д) $2x(x - 10) > 0;$

е) $x(2x + 3) \le 0.$

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примером 4.

а) $(x - 1)(x - 3) \le 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $1$ и $3$ будут закрашенными. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(x - 1)(x - 3)$ в каждом из интервалов, подставив в него пробные точки:

1. Для интервала $(-\infty; 1]$ возьмем $x = 0$. $(0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0$. Знак «+».

2. Для интервала $[1; 3]$ возьмем $x = 2$. $(2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) = -1 < 0$. Знак «-».

3. Для интервала $[3; +\infty)$ возьмем $x = 4$. $(4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) = 3 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $(x - 1)(x - 3)$ меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу, где мы получили знак «минус», включая концы интервала.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

б) $(x + 5)(x - 2) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(x - 2) = 0$.

Корни уравнения:

$x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим корни $-5$ и $2$ на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки не включаются в решение (изображаются выколотыми). Точки делят ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

1. При $x = -6$: $(-6 + 5)(-6 - 2) = (-1)(-8) = 8 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 0$: $(0 + 5)(0 - 2) = (5)(-2) = -10 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 3$: $(3 + 5)(3 - 2) = (8)(1) = 8 > 0$. Знак «+».

Нам нужно найти, где выражение больше нуля ($> 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули функции $y = (2x + 6)(x + 4)$:

$(2x + 6)(x + 4) = 0$

$2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x_1 = -3$

$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

Отметим корни $-4$ и $-3$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные. Получаем интервалы: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3]$ и $[-3; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах:

1. При $x = -5$: $(2(-5) + 6)(-5 + 4) = (-4)(-1) = 4 > 0$. Знак «+».

2. При $x = -3.5$: $(2(-3.5) + 6)(-3.5 + 4) = (-1)(0.5) = -0.5 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 0$: $(2(0) + 6)(0 + 4) = (6)(4) = 24 > 0$. Знак «+».

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Решение: $(-\infty; -4] \cup [-3; +\infty]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)$.

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $(3x - 3)(x + 1) = 0$.

Корни:

$3x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знаки выражения:

1. При $x = -2$: $(3(-2) - 3)(-2 + 1) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 0$: $(3(0) - 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 2$: $(3(2) - 3)(2 + 1) = (3)(3) = 9 > 0$. Знак «+».

Нам требуется, чтобы выражение было меньше нуля ($< 0$), поэтому выбираем интервал со знаком «-».

Решением является интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) $2x(x - 10) > 0$

Используем метод интервалов. Сначала разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится): $x(x - 10) > 0$.

Найдем корни уравнения $x(x - 10) = 0$.

Корни:

$x_1 = 0$

$x - 10 = 0 \implies x_2 = 10$

Отметим точки $0$ и $10$ на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 10)$ и $(10; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(x - 10)$:

1. При $x = -1$: $(-1)(-1 - 10) = 11 > 0$. Знак «+».

2. При $x = 1$: $(1)(1 - 10) = -9 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 11$: $(11)(11 - 10) = 11 > 0$. Знак «+».

Так как нужно найти, где выражение больше нуля ($> 0$), выбираем интервалы со знаком «+».

Решение: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

е) $x(2x + 3) \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $x(2x + 3) = 0$.

Корни:

$x_1 = 0$

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$

Отметим точки $-\frac{3}{2}$ и $0$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Интервалы: $(-\infty; -\frac{3}{2}]$, $[-\frac{3}{2}; 0]$ и $[0; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(2x + 3)$:

1. При $x = -2$: $(-2)(2(-2) + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Знак «+».

2. При $x = -1$: $(-1)(2(-1) + 3) = (-1)(1) = -1 < 0$. Знак «-».

3. При $x = 1$: $(1)(2(1) + 3) = (1)(5) = 5 > 0$. Знак «+».

Требуется найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервал со знаком «-», включая концы.

Решением является отрезок $[-\frac{3}{2}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; 0]$.