Номер 168, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 168, страница 68.

Решите неравенство (167-173):

168 а) $2x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

б) $-2x^2 - 6x + 20 \ge 0;$

в) $-4x^2 + 2x \ge 0;$

г) $0,5x^2 - 8 \ge 0.$

а) Дано неравенство $2x^2 - 4x + 2 \geq 0$.
Для упрощения разделим все члены неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 2x + 1 \geq 0$
Выражение в левой части является формулой полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Свернем выражение: $(x-1)^2 \geq 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть он либо больше, либо равен нулю. Данное неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Дано неравенство $-2x^2 - 6x + 20 \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 3x - 10 \leq 0$
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Мы решаем неравенство $x^2 + 3x - 10 \leq 0$. График функции $y = x^2 + 3x - 10$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-5; 2]$.
Ответ: $[-5; 2]$.

в) Дано неравенство $-4x^2 + 2x \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$2x^2 - x \leq 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) \leq 0$
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$.
$x_1 = 0$
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = 0,5$
График функции $y = 2x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(2x - 1) \leq 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями $0$ и $0,5$, включая концы отрезка.
Решение: $x \in [0; 0,5]$.
Ответ: $[0; 0,5]$.

г) Дано неравенство $0,5x^2 - 8 \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби. Знак неравенства не меняется:
$x^2 - 16 \geq 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 4)(x + 4) \geq 0$
Найдем корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
График функции $y = x^2 - 16$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, то есть $x \leq -4$ или $x \geq 4$.
Решение можно записать в виде объединения двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.