Номер 183, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 2. Квадратичная функция. 2.5 Квадратные неравенства - номер 183, страница 69.

Условие.

183 При каких значениях $b$ уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два различных корня?

Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5; 1,5; 5,36$?

Решение.

Решение 2.

При каких значениях b уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два различных корня?

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

В данном уравнении $x^2 + bx + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b$ является параметром, $c = 4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Чтобы уравнение имело два различных корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:
$b^2 - 16 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 16 = 0$:
$b^2 = 16$
$b_1 = -4$, $b_2 = 4$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как ветви параболы $y = b^2 - 16$ направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $b^2 - 16 > 0$ выполняется, когда $b < -4$ или $b > 4$.

В виде объединения интервалов это записывается как $b \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

Ответ: Уравнение имеет два различных корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5$; $1,5$; $5,36$?

Уравнение имеет действительные корни (один или два), если его дискриминант $D$ не является отрицательным, то есть $D \ge 0$. Из решения первого пункта мы знаем, что $D = b^2 - 16$.

Таким образом, уравнение имеет корни при $b^2 - 16 \ge 0$, что соответствует $b \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$. Проверим каждое из заданных значений $b$:

1. При $b = -25,5$:
   Значение $-25,5$ меньше, чем $-4$, поэтому оно принадлежит интервалу $(-\infty; -4]$.
   $D = (-25,5)^2 - 16 = 650,25 - 16 = 634,25$.
   Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

2. При $b = 1,5$:
   Значение $1,5$ находится в интервале $(-4; 4)$, то есть $-4 < 1,5 < 4$.
   $D = (1,5)^2 - 16 = 2,25 - 16 = -13,75$.
   Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

3. При $b = 5,36$:
   Значение $5,36$ больше, чем $4$, поэтому оно принадлежит интервалу $[4; \infty)$.
   $D = (5,36)^2 - 16 = 28,7296 - 16 = 12,7296$.
   Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: При $b = -25,5$ и $b = 5,36$ уравнение имеет корни, а при $b = 1,5$ — не имеет.