Номер 190, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 190, страница 71.

190 Решите методом интервалов нестрогое неравенство:

а) $(x - 4)(x - 2) \le 0$;

б) $(x - 1)(x + 1)(x - 5) \le 0$;

в) $(x - 1)(x + 6)(x - 7) \ge 0$.

Подсказка. Обратите внимание на то, что значения $x$, которые обращают произведение в нуль, входят в множество решений неравенства.

а) $(x - 4)(x - 2) \le 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули выражения в левой части, приравняв его к нулю: $(x - 4)(x - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим найденные корни ($2$ и $4$) на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными, то есть они включаются в множество решений. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 4)(x - 2)$ на каждом интервале, подставив в него произвольную точку из этого интервала:

• На интервале $(-\infty; 2)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 4)(0 - 2) = 8 > 0$. Знак «+».

• На интервале $(2; 4)$, возьмем $x = 3$: $(3 - 4)(3 - 2) = -1 < 0$. Знак «-».

• На интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x = 5$: $(5 - 4)(5 - 2) = 3 > 0$. Знак «+».

Поскольку нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), мы выбираем интервал со знаком «-» и включаем его концы, так как в этих точках выражение равно нулю.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

б) $(x - 1)(x + 1)(x - 5) \le 0$

Найдем нули выражения в левой части, решив уравнение $(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 5$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1, 1, 5$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. Начнем с крайнего правого интервала:

• На интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=6$: $(6-1)(6+1)(6-5) = 5 \cdot 7 \cdot 1 = 35 > 0$. Знак «+».

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

• На интервале $(1; 5)$: знак «-».

• На интервале $(-1; 1)$: знак «+».

• На интервале $(-\infty; -1)$: знак «-».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая их граничные точки.

Решением является объединение промежутков: $(-\infty; -1] \cup [1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; 5]$.

в) $(x - 1)(x + 6)(x - 7) \ge 0$

Найдем нули выражения в левой части: $(x - 1)(x + 6)(x - 7) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$, $x_3 = 7$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 1, 7$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах, начав с крайнего правого:

• На интервале $(7; +\infty)$, возьмем $x=10$: $(10-1)(10+6)(10-7) = 9 \cdot 16 \cdot 3 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки в соседних интервалах чередуются.

• На интервале $(1; 7)$: знак «-».

• На интервале $(-6; 1)$: знак «+».

• На интервале $(-\infty; -6)$: знак «-».

Согласно знаку неравенства ($\ge$), нам нужны интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая их граничные точки.

Решением является объединение промежутков: $[-6; 1] \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-6; 1] \cup [7; +\infty)$.