Номер 196, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 196, страница 71.

196. Решите каждое из неравенств:

a) $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$ и $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$;

б) $(2x^2 + 3)(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$ и $2x^2(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.

Подсказка. a) При любых значениях $x$ двучлен $x^2 + 1$ принимает положительные значения, поэтому первое неравенство равносильно неравенству $(x - 6)(x + 3) < 0$. А вот второе неравенство не равносильно неравенству $(x - 6)(x + 3) < 0$. Объясните, почему.

a)

Решим первое неравенство: $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$.
Поскольку множитель $(x^2 + 1)$ всегда строго положителен (так как для любого действительного $x$ выполняется $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$), мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака. Получим равносильное неравенство:
$(x - 6)(x + 3) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 3) = 0$ — это $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Графиком функции $y=(x - 6)(x + 3)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-3; 6)$.
Ответ: $x \in (-3; 6)$.

Решим второе неравенство: $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$.
Множитель $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Если $x=0$, левая часть неравенства обращается в ноль, и мы получаем неверное утверждение $0 < 0$. Следовательно, $x=0$ не является решением.
Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на $x^2$, сохранив знак. Получим неравенство $(x - 6)(x + 3) < 0$, решением которого, как мы уже знаем, является интервал $(-3; 6)$.
Учитывая, что $x \neq 0$, мы должны исключить точку $x=0$ из этого интервала. Таким образом, получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 6)$.

Объяснение из подсказки:
Неравенства $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$ и $(x - 6)(x + 3) < 0$ являются равносильными, так как их множества решений совпадают. Это справедливо, потому что множитель $(x^2 + 1)$ строго положителен при любом $x$, и деление на него является равносильным преобразованием.
Неравенства $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$ и $(x - 6)(x + 3) < 0$ не являются равносильными, поскольку их множества решений не совпадают. В частности, $x=0$ является решением второго неравенства (так как $-3 < 0 < 6$), но не является решением первого (так как при $x=0$ оно превращается в неверное $0 < 0$). Это происходит потому, что множитель $x^2$ не является строго положительным, а обращается в ноль при $x=0$.

б)

Решим первое неравенство: $(2x^2 + 3)(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Множитель $(2x^2 + 3)$ всегда строго положителен (так как $2x^2 \ge 0 \implies 2x^2+3 \ge 3$), поэтому неравенство равносильно следующему:
$(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Корни уравнения $(x + 0,5)(x - 3) = 0$ — это $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 3$. Графиком является парабола с ветвями вверх, которая принимает неотрицательные значения при $x \le -0,5$ и при $x \ge 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x_1 = -0,5$, $x_2 = 0$ (корень кратности 2) и $x_3 = 3$.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах. При переходе через корень четной кратности $x=0$ знак выражения не меняется.
- Интервал $(3; \infty)$: знак "+".
- Интервал $(0; 3)$: знак "-".
- Интервал $(-0,5; 0)$: знак "-".
- Интервал $(-\infty; -0,5)$: знак "+".
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+», а также точкам, в которых выражение равно нулю ($x = -0,5, x = 0, x = 3$).
Объединяя эти условия, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup \{0\} \cup [3; \infty)$.