Номер 5, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 5, страница 75.

5 Постройте график функции:

a) $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$;

б) $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$.

Образец. Построим график функции

$y = \frac{4x - 5}{x - 2}$.

Преобразуем дробь $\frac{4x - 5}{x - 2}$, выделив

её целую часть:

$\frac{4x - 5}{x - 2} = \frac{4(x - 2) + 3}{x - 2} = 4 + \frac{3}{x - 2}$.

Теперь легко найти асимптоты. Продолжите решение.

Сравните ответ с графиком, изображённым на рисунке 2.39.

$y = 4$

$x = 2$

$y = \frac{4x - 5}{x - 2}$

Рис. 2.39

а) Для построения графика функции $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$ преобразуем ее, выделив целую часть. Для этого в числителе выделим выражение, стоящее в знаменателе:
$y = \frac{2x + 6 + 1}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 1}{x + 3} = \frac{2(x + 3)}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} = 2 + \frac{1}{x + 3}$.
График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{1}{x+3}$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить график $y = 2 + \frac{1}{x + 3}$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -3$ (значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль) и горизонтальная $y = 2$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).
Для большей точности построения найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{2(0) + 7}{0 + 3} = \frac{7}{3}$. Точка $(0, \frac{7}{3})$.
- с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{2x + 7}{x + 3} \Rightarrow 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3.5$. Точка $(-3.5, 0)$.
Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=-3$ и $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$ – это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

б) Для построения графика функции $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$ также выделим целую часть:
$y = \frac{4x + 4 - 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1) - 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = 4 - \frac{2}{x + 1}$.
График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика функции $y = -\frac{2}{x}$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг графика $y = -\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = -\frac{2}{x+1}$.
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить график $y = 4 - \frac{2}{x + 1}$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 4$.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0) + 2}{0 + 1} = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4x + 2}{x + 1} \Rightarrow 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -0.5$. Точка $(-0.5, 0)$.
Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=-1$ и $y=4$.

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$ – это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=4$.