Номер 3, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 77.

3 a) $y = ||x| - 3|$;

б) $y = |||x| - 3| - 3|$.

а) $y = ||x| - 3|$

Для построения графика функции $y = ||x| - 3|$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = |x|$.

1. Строим график функции $y_1 = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. Сдвигаем график $y_1 = |x|$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график функции $y_2 = |x| - 3$. Вершина графика смещается в точку $(0, -3)$. График пересекает ось Ox в точках, где $|x| - 3 = 0$, то есть при $|x| = 3$, что дает $x = -3$ и $x = 3$.

3. Применяем внешнее преобразование модуля: $y = |y_2| = ||x| - 3|$. Это означает, что часть графика $y_2 = |x| - 3|$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

   Часть графика $y_2 = |x| - 3$ находится ниже оси Ox на интервале $(-3, 3)$. Отражая эту часть, мы получаем следующее:

   • Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

   • Точки пересечения с осью Ox, $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, остаются на месте.

   • Части графика при $x \le -3$ и $x \ge 3$ остаются без изменений, так как на этих участках $y_2 \ge 0$.

Итоговый график имеет форму буквы "W". Он состоит из четырех линейных частей:

• при $x \le -3$, $y = -x - 3$

• при $-3 < x \le 0$, $y = -(-x - 3) = x + 3$

• при $0 < x < 3$, $y = -(x - 3) = -x + 3$

• при $x \ge 3$, $y = x - 3$

Ключевые точки графика: вершины в $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = ||x| - 3|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 3 единицы вниз и последующим отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График имеет W-образную форму с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

---

б) $y = |||x| - 3| - 3|$

Для построения графика функции $y = |||x| - 3| - 3|$ мы можем использовать результат из пункта а). Обозначим функцию из пункта а) как $y_a = ||x| - 3|$.

1. Начнем с графика функции $y_a = ||x| - 3|$. Как мы выяснили, это график в форме буквы "W" с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

2. Сдвигаем график $y_a$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график функции $y_b = ||x| - 3| - 3$.

   При этом сдвиге ключевые точки перемещаются следующим образом:

   • Вершина $(-3, 0)$ переходит в точку $(-3, -3)$.

   • Вершина $(0, 3)$ переходит в точку $(0, 0)$.

   • Вершина $(3, 0)$ переходит в точку $(3, -3)$.

   График $y_b$ пересекает ось Ox в точках, где $||x| - 3| - 3 = 0$. Это уравнение равносильно $||x| - 3| = 3$. Раскрывая внешний модуль, получаем два случая:

   1. $|x| - 3 = 3 \Rightarrow |x| = 6 \Rightarrow x = -6$ или $x = 6$.

   2. $|x| - 3 = -3 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0$.

   Таким образом, точки пересечения с осью Ox для $y_b$ это $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

3. Применяем последнее, самое внешнее, преобразование модуля: $y = |y_b| = |||x| - 3| - 3|$. Части графика $y_b$, которые находятся ниже оси Ox, симметрично отражаются относительно этой оси.

   График $y_b$ находится ниже оси Ox на интервалах $(-6, 0)$ и $(0, 6)$. Отразим эти части:

   • Точки $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$ остаются на месте.

   • Точка локального минимума $(-3, -3)$ отражается в точку локального максимума $(-3, 3)$.

   • Точка локального минимума $(3, -3)$ отражается в точку локального максимума $(3, 3)$.

   • Части графика при $x \le -6$ и $x \ge 6$ остаются без изменений, так как на этих участках $y_b \ge 0$.

Итоговый график имеет более сложную форму, похожую на две соединенные буквы "W". Ключевые точки итогового графика:

• Точки пересечения (и касания) с осью Ox: $(-6, 0)$, $(0, 0)$, $(6, 0)$.

• Вершины (локальные максимумы): $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.

• Вершина (локальный минимум): $(0, 0)$.

График также симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = |||x| - 3| - 3|$ получается из графика $y = ||x| - 3|$ (W-образный график из пункта а)) сдвигом на 3 единицы вниз и последующим отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. Итоговый график имеет локальные максимумы в точках $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ и касается оси Ox в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.