Номер 4, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 4, страница 77.

4 а) $|y| = |x|$;

б) $|y| \cdot |x| = 1$;

в) $|y| + |x| = 1$;

г) $|y| - |x| = 1$.

Указание. Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

а) Для построения графика уравнения $|y| = |x|$ рассмотрим его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули в соответствии со знаками переменных $x$ и $y$.
1. В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $y = x$.
2. Во II четверти ($x \le 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $y = -x$.
3. В III четверти ($x \le 0, y \le 0$): уравнение принимает вид $-y = -x$, что равносильно $y = x$.
4. В IV четверти ($x \ge 0, y \le 0$): уравнение принимает вид $-y = x$, что равносильно $y = -x$.
В результате объединения графиков для всех четвертей получаются две прямые, которые пересекаются в начале координат.
Ответ: Графиком уравнения является совокупность двух прямых $y = x$ и $y = -x$, которые являются биссектрисами I, II, III и IV координатных углов.

б) Уравнение $|y| \cdot |x| = 1$ можно записать в виде $|xy| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $xy = 1$ и $xy = -1$. Рассмотрим, как это выглядит в каждой четверти.
1. В I четверти ($x > 0, y > 0$): $xy = 1 \implies y = 1/x$. Это ветвь гиперболы.
2. Во II четверти ($x < 0, y > 0$): $(-x)y = 1 \implies y = -1/x$. Это также ветвь гиперболы.
3. В III четверти ($x < 0, y < 0$): $(-x)(-y) = 1 \implies xy = 1 \implies y = 1/x$.
4. В IV четверти ($x > 0, y < 0$): $x(-y) = 1 \implies y = -1/x$.
Ответ: Графиком является объединение двух гипербол: $y = 1/x$ (с ветвями в I и III координатных четвертях) и $y = -1/x$ (с ветвями во II и IV координатных четвертях).

в) Для построения графика уравнения $|y| + |x| = 1$ раскроем модули в каждой из координатных четвертей.
1. В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + x = 1 \implies y = -x + 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.
2. Во II четверти ($x \le 0, y \ge 0$): $y - x = 1 \implies y = x + 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
3. В III четверти ($x \le 0, y \le 0$): $-y - x = 1 \implies y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.
4. В IV четверти ($x \ge 0, y \le 0$): $-y + x = 1 \implies y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.
Объединение этих четырех отрезков образует замкнутую фигуру.
Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

г) Уравнение $|y| - |x| = 1$ можно переписать как $|y| = |x| + 1$. Из этого следует, что $|y| \ge 1$, то есть $y \ge 1$ или $y \le -1$. Это означает, что график не имеет точек в горизонтальной полосе $-1 < y < 1$.
1. Для верхней полуплоскости ($y \ge 1$), уравнение принимает вид $y = |x| + 1$. Этот график представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Он состоит из двух лучей: $y = x + 1$ при $x \ge 0$ (I четверть) и $y = -x + 1$ при $x \le 0$ (II четверть).
2. Для нижней полуплоскости ($y \le -1$), уравнение принимает вид $-y = |x| + 1$, что равносильно $y = -|x| - 1$. Этот график представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вниз. Он состоит из двух лучей: $y = -x - 1$ при $x \ge 0$ (IV четверть) и $y = x - 1$ при $x \le 0$ (III четверть).
Ответ: Графиком является объединение двух "уголков": один с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями вверх (задается уравнением $y=|x|+1$), другой с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями вниз (задается уравнением $y=-|x|-1$).