Номер 4, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 4, страница 75.

4 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{3 - x}{x - 1}$;

в) $y = \frac{x + 1}{x + 2}$.

Совет. В качестве образца воспользуйтесь примером 4, разобранным в тексте.

а)

Для построения графика функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ преобразуем данное выражение, выделив целую часть. Это позволит нам увидеть, как график базовой функции $y = \frac{k}{x}$ смещается.

$y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2)+2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.

Таким образом, мы получили функцию вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$, где $k=2$, $x_0 = -2$, $y_0 = 1$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы влево (вдоль оси Ox) и на 1 единицу вверх (вдоль оси Oy).

1. Находим асимптоты. Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x+2 = 0 \implies x = -2$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

2. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра — точки пересечения асимптот $(-2; 1)$.

3. Найдём несколько точек для более точного построения графика.

Точка пересечения с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.

Точка пересечения с осью Ox (полагаем $y=0$): $0 = \frac{x+4}{x+2} \implies x+4 = 0 \implies x = -4$. Получаем точку $(-4; 0)$.

Возьмём ещё несколько точек для точности:

Если $x = -1$, то $y = \frac{-1+4}{-1+2} = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Если $x = -3$, то $y = \frac{-3+4}{-3+2} = -1$. Точка $(-3; -1)$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=-2$ и $y=1$, затем отмечаем найденные точки и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(-4; 0)$, $(-3; -1)$, $(0; 2)$.

б)

Для построения графика функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{3-x}{x-1} = \frac{-(x-3)}{x-1} = \frac{-(x-1-2)}{x-1} = \frac{-(x-1) + 2}{x-1} = -\frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = -1 + \frac{2}{x-1}$.

Мы получили функцию $y = \frac{2}{x-1} - 1$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ смещением на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

1. Асимптоты графика: вертикальная $x = 1$ (знаменатель равен нулю) и горизонтальная $y = -1$. Точка пересечения асимптот — $(1; -1)$.

2. Коэффициент $k=2 > 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях относительно новых осей, заданных асимптотами.

3. Найдём контрольные точки для построения графика.

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{3-x}{x-1} \implies 3-x = 0 \implies x = 3$. Точка $(3; 0)$.

Дополнительные точки:

Если $x = 2$, то $y = \frac{3-2}{2-1} = 1$. Точка $(2; 1)$.

Если $x = -1$, то $y = \frac{3-(-1)}{-1-1} = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-1; -2)$.

Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(0; -3)$, $(2; 1)$, $(3; 0)$.

в)

Для построения графика функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+2)-1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.

Мы получили функцию $y = \frac{-1}{x+2} + 1$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{-1}{x}$ смещением на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

1. Асимптоты графика: вертикальная $x = -2$ и горизонтальная $y = 1$. Точка пересечения асимптот — $(-2; 1)$.

2. Коэффициент $k=-1 < 0$, следовательно, ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно новых осей, заданных асимптотами.

3. Найдём контрольные точки для построения графика.

Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка $(0; 0.5)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{x+1}{x+2} \implies x+1 = 0 \implies x = -1$. Точка $(-1; 0)$.

Дополнительные точки:

Если $x = -3$, то $y = \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка $(-3; 2)$.

Если $x = -4$, то $y = \frac{-4+1}{-4+2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(-4; 1.5)$.

Строим асимптоты $x=-2$ и $y=1$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(-1; 0)$, $(0; 0.5)$, $(-3; 2)$.