Номер 192, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 192, страница 71.

192 Найдите множество решений неравенства:

а) $-(x + 3)(x + 7) > 0;$

б) $-x(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0;$

в) $-(x + 1)(x - 6) \le 0.$

Подсказка. Умножьте обе части неравенства на $-1$. Не забудьте при этом поменять знак неравенства на противоположный.

а) $-(x + 3)(x + 7) > 0$

Следуя подсказке, умножим обе части неравенства на -1. При этом необходимо поменять знак неравенства с `>` на `<`.

$(x + 3)(x + 7) < 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 3)(x + 7) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделяют ее на три интервала: $(-\infty, -7)$, $(-7, -3)$ и $(-3, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 3)(x + 7)$ на каждом интервале. Графиком функции $y = (x + 3)(x + 7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, на интервале $(-7, -3)$ выражение $(x + 3)(x + 7)$ отрицательно, а на интервалах $(-\infty, -7)$ и $(-3, +\infty)$ — положительно.

Поскольку мы ищем решения неравенства $(x + 3)(x + 7) < 0$, нам подходит интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-7, -3)$.

б) $-x(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x(x + 2)(x - 1)(x - 3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части, приравняв ее к нулю: $x(x + 2)(x - 1)(x - 3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -2, 0, 1, 3. Эти точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(3, +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$. Возьмем пробную точку, например $x=4$: $4(4+2)(4-1)(4-3) = 4 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 1 = 72$. Знак "плюс".

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков на интервалах: плюс, минус, плюс, минус, плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение $x(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ меньше нуля, то есть те, где стоит знак "минус".

Это интервалы $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, 3)$.

в) $-(x + 1)(x - 6) \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1. Знак неравенства $\le$ меняется на $\ge$.

$(x + 1)(x - 6) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 1)(x - 6) = 0$. Это $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения. Отметим их на числовой оси (включая концы интервалов).

Точки -1 и 6 разбивают ось на три области: $(-\infty, -1]$, $[-1, 6]$ и $[6, +\infty)$.

Графиком функции $y = (x + 1)(x - 6)$ является парабола с ветвями вверх. Она принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) на лучах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, выражение $(x + 1)(x - 6)$ неотрицательно на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[6, +\infty)$.

Решением неравенства являются все значения $x$, для которых выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [6, +\infty)$.