Номер 182, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 182, страница 69.

182 Докажите двумя способами, что не существует таких значений $x$, при которых выполняется неравенство:

a) $x^2 - 4x + 5 < 0$;

б) $-x^2 + 8x - 20 > 0$.

а) $x^2 - 4x + 5 < 0$

Способ 1: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для чего решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси Ox. Следовательно, для любого значения $x$ значение выражения $x^2 - 4x + 5$ будет положительным.

Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ было бы верным.

Способ 2: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$.

Неравенство принимает вид $(x - 2)^2 + 1 < 0$.

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Тогда сумма $(x - 2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна $1$, так как $(x - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Следовательно, выражение $(x - 2)^2 + 1$ не может быть меньше нуля ни при каком значении $x$.

Ответ: доказано, что неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ не имеет решений.

б) $-x^2 + 8x - 20 > 0$

Способ 1: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 8x - 20$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-x^2 + 8x - 20 = 0$. Умножим обе части на $-1$ для удобства: $x^2 - 8x + 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена в нижней полуплоскости, то есть ниже оси Ox. Следовательно, для любого значения $x$ значение выражения $-x^2 + 8x - 20$ будет отрицательным.

Таким образом, не существует таких значений $x$, при которых неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ было бы верным.

Способ 2: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства. Вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 8x + 20) > 0$.

Выделим полный квадрат в выражении в скобках:

$x^2 - 8x + 20 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 20 = (x - 4)^2 - 16 + 20 = (x - 4)^2 + 4$.

Неравенство принимает вид $-((x - 4)^2 + 4) > 0$.

Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно: $(x - 4)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, сумма $(x - 4)^2 + 4$ всегда положительна и больше или равна $4$: $(x - 4)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Тогда выражение $-((x - 4)^2 + 4)$ всегда будет отрицательным (точнее, меньше или равно $-4$).

Таким образом, выражение $-((x - 4)^2 + 4)$ не может быть больше нуля ни при каком значении $x$.

Ответ: доказано, что неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ не имеет решений.