Номер 145, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 145, страница 60.

145 Постройте график функции:

а) $y = (x - 4)^2$;

б) $y = 2(x + 2)^2$;

в) $y = -(x + 3)^2$;

г) $y = -0,5(x - 1)^2$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы и отметьте вершину в координатной плоскости;

2) проведите через вершину ось симметрии параболы;

3) покажите маленькой дугой направление ветвей параболы;

4) постройте несколько точек графика по разные стороны от оси симметрии;

5) соедините построенные точки параболы плавной линией.

а) $y = (x - 4)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=4$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$, следовательно, вершина находится в точке $(4, 0)$. Отмечаем эту точку на координатной плоскости.

2. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = h$, то есть $x = 4$. Проводим эту прямую (обычно пунктиром).

3. Коэффициент при квадрате скобки $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=4$.
   При $x=3$: $y = (3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
   Симметричная ей точка при $x=5$ будет иметь ту же ординату: $y = (5 - 4)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(5, 1)$.
   При $x=2$: $y = (2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
   Симметричная ей точка при $x=6$: $y = (6 - 4)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(6, 4)$.
   Отмечаем найденные точки на плоскости.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой, получая график параболы.

Ответ: График функции $y = (x - 4)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(4, 0)$, осью симметрии $x=4$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = 2(x + 2)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, переписав ее как $y = 2(x - (-2))^2 + 0$. Здесь $a=2$, $h=-2$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-2, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = -2$.

3. Коэффициент $a = 2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Так как $|a| = 2 > 1$, парабола будет более "узкой", чем $y=x^2$ (растянута вдоль оси Oy в 2 раза).

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=-2$.
   При $x=-1$: $y = 2(-1 + 2)^2 = 2(1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
   Симметричная ей точка при $x=-3$: $y = 2(-3 + 2)^2 = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-3, 2)$.
   При $x=0$: $y = 2(0 + 2)^2 = 2(2)^2 = 8$. Точка $(0, 8)$.
   Симметричная ей точка при $x=-4$: $y = 2(-4 + 2)^2 = 2(-2)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 2(x + 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, осью симметрии $x=-2$ и ветвями, направленными вверх. Парабола растянута в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y=x^2$.

в) $y = -(x + 3)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, переписав ее как $y = -1(x - (-3))^2 + 0$. Здесь $a=-1$, $h=-3$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-3, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = -3$.

3. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=-3$.
   При $x=-2$: $y = -(-2 + 3)^2 = -(1)^2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
   Симметричная ей точка при $x=-4$: $y = -(-4 + 3)^2 = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
   При $x=-1$: $y = -(-1 + 3)^2 = -(2)^2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.
   Симметричная ей точка при $x=-5$: $y = -(-5 + 3)^2 = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-5, -4)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -(x + 3)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, осью симметрии $x=-3$ и ветвями, направленными вниз.

г) $y = -0.5(x - 1)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-0.5$, $h=1$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = 1$.

3. Коэффициент $a = -0.5 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| = 0.5 < 1$, парабола будет более "широкой", чем $y=x^2$ (сжата вдоль оси Oy в 2 раза).

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=1$.
   При $x=2$: $y = -0.5(2 - 1)^2 = -0.5(1)^2 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
   Симметричная ей точка при $x=0$: $y = -0.5(0 - 1)^2 = -0.5(-1)^2 = -0.5$. Точка $(0, -0.5)$.
   При $x=3$: $y = -0.5(3 - 1)^2 = -0.5(2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$. Точка $(3, -2)$.
   Симметричная ей точка при $x=-1$: $y = -0.5(-1 - 1)^2 = -0.5(-2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -0.5(x - 1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, осью симметрии $x=1$ и ветвями, направленными вниз. Парабола сжата в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y=x^2$.