Номер 124, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 124, страница 54.

124 Функция задана формулой $y = 3x^2$.

1) Составьте таблицу значений функции при $x$, равном $0; \frac{1}{3}; 1; 2$, и постройте её график.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48? y = 75$?

1) Составьте таблицу значений функции при x, равном 0; 1/3; 1; 2, и постройте её график.

Для построения графика функции $y = 3x^2$ составим таблицу значений. Функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Для более точного построения графика возьмем также симметричные значения $x$.

Вычислим значения $y$ для заданных $x$:

• При $x=0$: $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=\frac{1}{3}$: $y = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$.
• При $x=1$: $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
• При $x=2$: $y = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Составим таблицу значений, включив в нее и отрицательные значения $x$ для наглядности:

$x$	-2	-1	$-\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$	1	2
$y = 3x^2$	12	3	$\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$	3	12

График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для построения графика нужно отметить вычисленные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, учитывая симметрию относительно оси OY.

Ответ: Таблица значений представлена выше. Графиком является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх, проходящая через точки $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, $(0, 0)$, $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, $(1, 3)$, $(2, 12)$.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

Так как функция $y=3x^2$ четная, ее график симметричен относительно оси OY. Это означает, что для любого значения $x_0 \neq 0$ точки с координатами $(x_0, y_0)$ и $(-x_0, y_0)$ будут симметричны. В качестве примера возьмем точки, вычисленные в первом пункте.

Например, при $x=1$, $y=3$, а при $x=-1$, $y=3$. Таким образом, точки с координатами $(-1, 3)$ и $(1, 3)$ являются симметричными относительно оси OY.

Ответ: Пара симметричных точек: $(-1, 3)$ и $(1, 3)$.

3) В каких точках график пересекает прямую y = 48? y = 75?

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = 3x^2$ с горизонтальной прямой, нужно приравнять их значения $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Пересечение с прямой $y = 48$:

Приравниваем $y$ из обоих уравнений:

$3x^2 = 48$

Делим обе части на 3:

$x^2 = 16$

Находим корни:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$

Таким образом, график пересекает прямую $y = 48$ в двух точках с координатами $(4, 48)$ и $(-4, 48)$.

Пересечение с прямой $y = 75$:

Приравниваем $y$ из обоих уравнений:

$3x^2 = 75$

Делим обе части на 3:

$x^2 = 25$

Находим корни:

$x_1 = \sqrt{25} = 5$

$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Таким образом, график пересекает прямую $y = 75$ в двух точках с координатами $(5, 75)$ и $(-5, 75)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=48$ в точках $(-4, 48)$ и $(4, 48)$; прямую $y=75$ — в точках $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.