Номер 116, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 116, страница 51.

116 Если известны две симметричные точки параболы, то легко найти её ось симметрии, а значит, и абсциссу вершины. На этом может быть основан алгоритм построения графика квадратичной функции.

Постройте график функции $y = x^2 - x - 6$, пользуясь следующим планом:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью $x$ и отметьте эти точки в координатной плоскости;

2) проведите ось симметрии параболы;

3) найдите абсциссу вершины и вычислите ординату вершины параболы;

4) отметьте вершину в координатной плоскости;

5) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

6) соедините точки плавной линией.

Для построения графика функции $y = x^2 - x - 6$ выполним следующие шаги:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (осью x), приравняем $y$ к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$
Таким образом, парабола пересекает ось x в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(3, 0)$. Эти точки нужно отметить на координатной плоскости.
Ответ: Точки пересечения с осью x: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

2) проведите ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы проходит ровно посередине между точками пересечения с осью x. Абсцисса оси симметрии равна среднему арифметическому абсцисс этих точек:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
Ось симметрии — это вертикальная прямая.
Ответ: Уравнение оси симметрии: $x = 0.5$.

3) найдите абсциссу вершины и вычислите ординату вершины параболы;

Абсцисса вершины параболы $x_в$ совпадает с осью симметрии. Её можно найти по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:
$x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$
Чтобы найти ординату вершины $y_в$, подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$
Координаты вершины параболы: $(0.5, -6.25)$.
Ответ: Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.

4) отметьте вершину в координатной плоскости;

Отмечаем на координатной плоскости точку с координатами, найденными в предыдущем пункте.
Ответ: Отмечена точка $(0.5, -6.25)$.

5) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Удобно найти точку пересечения с осью y (осью ординат), для этого подставим $x=0$:
$y(0) = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения с осью y: $(0, -6)$.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -6)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Ее абсцисса будет $x = 0.5 + (0.5 - 0) = 1$. Ордината та же. Получаем точку $(1, -6)$.
Проверка: $y(1) = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$. Верно.
Возьмем еще одно значение, например, $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Получаем точку $(-1, -4)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет иметь абсциссу $x = 0.5 + (0.5 - (-1)) = 2$. Получаем точку $(2, -4)$.
Проверка: $y(2) = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$. Верно.
Ответ: Дополнительные точки для построения: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

6) соедините точки плавной линией.

Последовательно соединяем все отмеченные точки: $(-2, 0)$, $(-1, -4)$, $(0, -6)$, вершину $(0.5, -6.25)$, $(1, -6)$, $(2, -4)$, $(3, 0)$ плавной кривой линией. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Ответ: Построен график функции $y = x^2 - x - 6$.