Номер 111, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.7 Что означают слова «С точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 111, страница 37.

111 На токарном станке вытачивают круглые пластины диаметром $l = 5 \pm 0,1$ см. В результате применения новых технологий относительную погрешность, допускаемую при изготовлении детали, удалось уменьшить на 1 %. В каком промежутке теперь заключается точное значение диаметра детали?

1. Определение начальной относительной погрешности
Исходные данные для диаметра пластины: $l = 5 \pm 0,1$ см.
Это означает, что номинальное значение диаметра $l_0 = 5$ см, а абсолютная погрешность (допуск) $\Delta l = 0,1$ см.
Относительная погрешность $\delta$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности к номинальному значению:
$\delta_{начальная} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{0,1}{5} = 0,02$
В процентах начальная относительная погрешность составляет:
$0,02 \times 100\% = 2\%$

2. Расчет новой относительной погрешности
Согласно условию, относительную погрешность уменьшили на 1%. Это означает, что из начального значения в 2% вычли 1%:
$\delta_{новая} = 2\% - 1\% = 1\%$
Для дальнейших расчетов переведем это значение в десятичную дробь:
$\delta_{новая} = \frac{1}{100} = 0,01$

3. Расчет новой абсолютной погрешности
Новая абсолютная погрешность $\Delta l_{новая}$ находится путем умножения новой относительной погрешности на номинальное значение диаметра (которое не изменилось):
$\Delta l_{новая} = \delta_{новая} \times l_0 = 0,01 \times 5 \text{ см} = 0,05 \text{ см}$

4. Определение нового промежутка для диаметра детали
С новой абсолютной погрешностью диаметр детали можно записать как $l = 5 \pm 0,05$ см.
Следовательно, точное значение диаметра теперь находится в промежутке, границы которого определяются следующим образом:
Нижняя граница: $l_{min} = l_0 - \Delta l_{новая} = 5 - 0,05 = 4,95$ см.
Верхняя граница: $l_{max} = l_0 + \Delta l_{новая} = 5 + 0,05 = 5,05$ см.
Таким образом, новый промежуток для точного значения диаметра детали: $[4,95; 5,05]$ см.

Ответ: точное значение диаметра детали заключается в промежутке $[4,95; 5,05]$ см.